Topologie L2

[Syphax]

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver comment résoudre ces exercices :

E={(x,y) R²/ x=y} est fermé. En déduire qu'il est compact.

E={(x,y) R²/ x > 0 et x+y < 2} est un ouvert de R².


Les méthodes pour résoudre ce genre d'exercices, je les connais mais je n'arrive pas à les utiliser.
Par exemple, pour montrer qu'un ensemble E est fermé, on peut :
-soit montrer que son complémentaire est un ouvert.
-soit montrer que toute suite (xn, yn) de E a pour limite L qui appartient à E.

Et pour montrer que E est ouvert, on peut :
-soit montrer que pour tout (x,y) de E, il existe r tel que B( (x,y), r ) C E.
-soit montrer que E s'écrit comme union/intersection de pavés ouverts.

Je n'arrive pourtant pas à utiliser ces méthodes :/

[Wenneguen]

Il manque une question pour le deuxième ensemble, non ? :zen:

Sinon, en dimension finie un compact est un ensemble fermé et borné. Le premier ensemble n'est pas borné, donc je vois mal comment il peut être compact... :hum:

(je dis peut-être des conneries)

[raph107]

pour le premier on considère la fonction f de R² dans R définie par:
f(x,y) = y - x.
E est l'image réciproque du fermé {0} par la fonction continue f donc E est fermé, mais il n'est pas compact puisqu'il n'est pas borné.

Pour le 2 on fait pareil en définissant la fonction g(x,y) = x + y - 2:
L'image réciproque A de ]-l'infini;0[ est un ouvert de R².
La partie B = ]0; +l'infini[ x R est un ouvert de R²
E = A inter B est donc bien un ouvert