Billet vert

par **Imod** » 02 Mar 2013, 21:08

Bonsoir à tous :zen:

Une petite question que je me suis posé ces jours-ci ( je ne préciserai pas les circonstances ) . On a un verre conique rempli à ras bord d'une boisson quelconque dans lequel on pose une olive ( une boule ) ce qui a pour effet faire déborder le verre .

On néglige les effets physiques du genre l'olive flotte , la surface du liquide prend une forme bizarre ...

Quel rayon faut-il choisir pour l'olive de façon à évacuer le maximum de liquide ?

Je pense avoir une solution empirique simple mais je n'ai aucun calcul qui la confirme :marteau:

Des amateurs :we:

Imod

par **Galax** » 03 Mar 2013, 02:29

La formule à laquelle j'arrive ne semble pas se simplifier complètement
Sauf pour des valeurs spécifiques de l'angle (45°, 30° en particulier)

Je trouve :

R=H.sinß/((1-sinß)(1+2sinß))

avec
R:rayon de la bille
H : hauteur du verre
ß : angle du cône

par **Imod** » 03 Mar 2013, 12:23

Sans certitude , voilà le rayon qui me semble réaliser le maximum :

Les trois côtés rouges du trapèze sont de même longueur .

Ce dessin est-il en accord avec tes calculs ?

Imod

par **nodjim** » 03 Mar 2013, 12:41

Sans partir dans des calculs infernaux, je dirais que le max est atteint lorsque
Si*sina=Da
avec Si= surface immergée de la sphère
sin a= sinus de l'angle a du cône avec la verticale.
Da=surface du plan qui coupe la sphère en haut du cône. C'est le disque apparent émergé de la sphère vue d'en haut.

L'angle a du cône est important, c'est dR/dH, c'est à dire le rapport entre la variation du rayon de la sphère et son élévation au dessus de l'eau. tant que la surface immergée* dR est > Da*dH, on peut augmenter R car la variation de volume immergé est > à la variation de volume émergé.

par **nodjim** » 03 Mar 2013, 12:44

Imod, vu ton dessin, c'est un demi hexagone que tu fais. A savoir, pour toi, le max est atteint lorsque le centre de la sphère est juste en haut du cône. Je suis sceptique.

par **Galax** » 03 Mar 2013, 12:45

@ Imod : Je ne pense pas
Pour un angle de 45 par exemple (verre à angle droit), le rayon doit etre la hauteur du verre, je ne crois pas que ton trapeze aura alors ses 3 cotés egaux

par **nodjim** » 03 Mar 2013, 12:54

Réflexion faite, pourquoi pas ?
ça me semble bien, mais je suis incapable de faire la liaison avec ce que j'ai énoncé.

par **Galax** » 03 Mar 2013, 13:03

@Imod
Désolé, j'avais fait un mauvais dessin.
Ca colle pour un angle droit.

par **Imod** » 03 Mar 2013, 13:15

En effet ça ne marche pas , du coup je ne sais pas s'il existe une solution "géométrique" :mur:

Imod

par **Imod** » 03 Mar 2013, 13:33

Du coup , je suis un peu paumé et je ne suis plus sûr du tout du résultat :hein:

Imod

par **nodjim** » 03 Mar 2013, 13:33

C'est vrai pour un angle conique de 60°.

par **Galax** » 03 Mar 2013, 13:45

Après vérification, ca colle parfaitement avec la formule
La longueur des 3 cotés est : 2H.tanß/(1+2sinß)
Excellente intuition

par **Imod** » 03 Mar 2013, 13:56

Je n'ai pas fait les calculs mais si le résultat est juste on peut espérer une justification "physique" ou au moins qualitative .

Imod

par **Imod** » 06 Mar 2013, 23:28

Un petit up pour signaler que le sujet continue à vivre ici et là :zen:

Bonne soirée à tous .

Imod

par **LeJeu** » 07 Mar 2013, 10:17

Imod a écrit:Un petit up pour signaler que le sujet continue à vivre ici et là :zen:
Bonne soirée à tous .

Imod

Salut,
j'ai un calcul pas compliqué pour trouver pour quel angle le centre de la boule est à la surface

Si on a une demi-sphère immergée :quand on diminue le rayon de dr, le volume immergée de la nouvelle boule,
diminue de dr * 2 PI R² ( en prenant la surface de la demi-sphère)
et augmente de dh * PI R² ( le disque sous la surface)

avec

( demi angle du cone)

Si la situation est optimum, la dérivée est nulle, donc les deux volumes sont égaux
dr* 2PI R² = dh* PI R²
soit

C'est donc pour un angle de PI/6

par **LeJeu** » 07 Mar 2013, 21:20

LeJeu a écrit:Salut,
j'ai un calcul pas compliqué pour trouver pour quel angle le centre de la boule est à la surface

J'ai l'impression que l'on peut mener le même calcul ,avec la boule immergée d'une hauteur x

la surface de la sphère immergée est x* 2 PI R ( cool la formule !)

le rayon du disque à la surface est racine ( R² - (x-R)²)

avec la relation trigo dans le verre
sin a = R /(h -(x-R))

sauf erreur on doit arriver au but! mais je dois filer ...

par **Imod** » 08 Mar 2013, 01:25

Nhésites pas à donner la suite quand tu trouveras un peu de temps .

Imod

par **chan79** » 08 Mar 2013, 11:23

LeJeu a écrit:Salut,
j'ai un calcul pas compliqué pour trouver pour quel angle le centre de la boule est à la surface

Si on a une demi-sphère immergée :quand on diminue le rayon de dr, le volume immergée de la nouvelle boule,
diminue de dr * 2 PI R² ( en prenant la surface de la demi-sphère)
et augmente de dh * PI R² ( le disque sous la surface)

avec ( demi angle du cone)

Si la situation est optimum, la dérivée est nulle, donc les deux volumes sont égaux
dr* 2PI R² = dh* PI R²
soit

C'est donc pour un angle de PI/6

salut
effectivement pour pi/6(triangle de coupe équilatéral), le volume immergé
est maximum si x²-3Hx+2H²=0 avec H hauteur du cône et x distance du sommet du cône au centre de la boule
et l'équation est vérifiée pour x=H
le centre de la boule est à la surface

par **Doraki** » 08 Mar 2013, 11:38

vous parlez de volumes mais le dessin est en 2D.

Le problème est-il en 2D ou en 3D ?

par **chan79** » 08 Mar 2013, 12:20

Pour un cône (droit) de hauteur 10 et de base un cercle de rayon 5 (centre I), je trouve que le rayon de la boule doit être égal à 4,2705098...
Son centre M est en dessous de la surface du liquide

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