Polynômes
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lefandepblv
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par lefandepblv » 01 Mar 2013, 18:39
Soient A et B deux polynômes à coef complexes, tel sque A(z) et B(z) de même module pour tout z.
Montrer qu'il existe u de module 1 tel que A(X)=u*B(X)
Cet exercice me pose problème et j'ai beaucoup de mal à démarrer après avoir traduit l'énoncé ... pouvez-vous avec moi un début de raisonnement pour me débloquer après pas mal de moments de blocage
Merci du déclic
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leon1789
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par leon1789 » 01 Mar 2013, 18:44
Que penses-tu de la fraction rationnelle A(X)/B(X) et de ses évaluations A(z)/B(z) ?
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Nightmare
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par Nightmare » 01 Mar 2013, 18:49
Hello,
A et B ont les même racines : si z est du racine de A (resp. B) alors |B(z)|=|A(z)|=0 donc B(z)=0 (resp. A(z)=0)
La conclusion est alors quasi-immédiate.
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Doraki
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par Doraki » 01 Mar 2013, 20:07
Nightmare a écrit:La conclusion est alors quasi-immédiate.
seulement si t'as préalablement montré que les racines de A sont racines de B avec la même multiplicité et inversement.
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Nightmare
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par Nightmare » 01 Mar 2013, 20:28
Tout à fait, mais ce n'est pas très compliqué en montrant qu'ils sont de même degré.
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Nightmare
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par Nightmare » 02 Mar 2013, 15:09
Tout à fait, mais c'est assez rapide en appliquant le même raisonnement à P/(z-a) et Q/(z-a) sauf erreur.
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leon1789
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par leon1789 » 04 Mar 2013, 15:13
C'est assez simple et sans astuce :
on travaille sur C et les évaluations de la fraction A(X) / B(X) sont de module 1,
donc la fraction A/B n'a pas de pôle (continuité), donc c'est un polyn.
Et A/B n'a pas de zéro (continuité), donc ce polyn. est constant.
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