J'ai eu un devoir de maths récemment dont voici une partie des question :
[...] Partie B II) h est la fonction définie sur R par : h(x)=(x²-1)e^-x
a) Déterminer une primitive H de h sur R sachant qu'elle s'exprime sous la forme H(x)=(ax²+bx+c)e^-x où a b et c sont trois nombres.
b)est un nombre tel que
On considère la partie du plan délimitée par f(x) ( x²e^-x) et g(x) (e^-x) et les droites d'équation x=1 et x=;).
Déterminez en fonction de
c) Quelle est la limite de A(;)) lorsque
Dans le cours, on nous apprends à calculer les primitives composées d'exponentielles avec la formule suivante u'e^u ==> e^u
Or dans l'exercice cela ne correspond pas puisque si u=-x alors u'=-1 et non pas (x²-1)
J'ai alors voulu m'arranger pour retomber sur ce résultat en me servant de (x²-1) = -1(-x²+1)
On aurais donc eu (-x²+1)u'e^u ==> (-x²+1)e^u ==> (-x²+1)e^-x
a=-1 & c=1
Bien que cela me paraissait bizarre , j'ai quand même voulu avancer dans le problème
Or , je sais qu'une intégrale ( quand elle peut être ramener à une aire , soit dans ce cas la ) est strictement croissante et positive
Or dans ce cas la , cette fonction ne correspond pas à la solution car elle est négative pour x>1 .
J'étais suis donc dans une impasse et ma réponse à la question précédente est ... Fausse . Pour me faire aider , j'avais alors posté un topic sur maths-forum dans l'optique de résoudre celui-ci cepandant le résultat qu'il m'a amené à trouver semble illogique . Je le détaille ici
J'ai donc réessayé un calcul avec une autre méthode
Déterminer une primitive H de h sur R sachant qu'elle s'exprime sous la forme H(x)=(ax²+bx+c)e^-x où a b et c sont trois nombres.
Cela signifie que la primitive de h est de la forme
H(x) = (ax² + bx + c)e^(-x)
La dérivée de H(x) est donc h(x)
Je dérive H(x) pour obtenir a,b et c
Dans la partie suivante , je pense qu'il à fait une erreur en effet je crois qu'il à du faire u'v-uv' au lieu de u'v+uv'
Attention
H(x) = (ax² + bx + c)e^(-x) (forme uv)
Donc
H'(x) = (2ax + b)e^(-x) - (ax² + bx + c)e^(-x)
H'(x) = (2ax + b - ax² - bx - c)e^(-x)
H'(x) = (-ax² + (2a - b)x + (b - c)) e^(-x)
H'(x) = h(x) = (x²-1)e^(-x)
Donc :
(-ax² + (2a - b)x + (b - c)) = (x²-1)
A toi d'identifier a, b et c.
(-ax²+(2a-b)x+(b-c))e^-x=(x²-1)e^-x
-ax²+(2a+b)x+b-c=x²-1
On à donc le système suivant :
-a=1
2a-b=0
b-c=-1
a=-1
2*-1+b=0 b=-2
2-c=-1 c=-1
H(x)=(-x²-2x-1)e^-x
J'ai alors commencé à avoir des doutes sur la véracité de ce résultat. J'ai néenmoins continué le calcul puisqu'il m'assurait que ce raisonnement était correct
Néanmoins , cette fonction est strictement négative et ne peux donc ( je crois ) pas être assimilée à une aire ... Est-elle bonne ?
Ok ( désolé, je dois être un peu saoulant mais j'essaye de comprendre).
On à donc bien
(-x²-2x-1)(e^-x)
L'aire de 1 à
A=(-;)²-2;)-1)(e^-x)-(-1²-2*1-1)(e^-x)
A=4(e^-x)+(-;)²-2a-1)(e^-x)
A=(-a²-2a+3)(e^-x)
Je ne vois pas ou j'ai fait l'erreur mais l'aire est négative et tend vers 0 ce qui ne correspond à priori pas à l'énoncé :/
t la limite de A(;)) lorsque
A(a) = (-a² - 2a + 3)e^(-a)
Donc la limite tend vers 0.
Je ne vois pas de problème avec ce résultat la courbe h(x) tend bien vers 0 en +oo.
La différence de deux aires peux être négatif.
Supposons que l'aire f(x) = 3 et l'aire g(x) = 4 alors aire de h(x) = 3 - 4 = -1
Même si l'aire de f(x) et de g(x) sont positifs l'aire de la différence peux-être négatif !
De plus, les deux fonctions ne sont pas croissantes mais tendent toutes les 2 vers 0 en +oo.
Le raisonnement ne me paraissait alors assez improbable : en effet ,
En théorie oui et le resultat que tu dit est probablement être bon mais si tu as une calculette tu pourras remarquer que x²e^(-x)>e^(-x) sur ]1;+l'infini[ donc la fonction aire est donc obligatoirement positive ( par exemple l'aire entre 1 et 2 de x²e^(-x) et e^-(x) est positive , et cela sans calcul , juste en regardant le dessin. Si la fonction aire semble et est convergente vers une limite finie, celle-ci ne peut en aucun cas être égale à 0 mais toujours >0 . La suite est donc forcément croissante bien que convergente.
Je n'ais fait aucun calcul pour obtenir ce résultat, j'ai simplement regardé le dessin. Je suis conscient que je ne suis pas excellent en maths et que j'ai fait beaucoup d'erreurs dans ce calcul. Néanmoins ton résultat ne me semble pas logique du tout.
Pourrais tu au moins m'expliquer comment trouve t'on une aire négative en retranchant une "petite" fonction à une "grande"?
Désolé si j'insiste un peu mais je ne conçoit pas du tout comment ce type de résultat peut-il arriver ^^
Attention, l'aire en +oo est bien 0 car l'aire de x²e^(-x) tend vers 0 en +oo et idem pour e^(-x).
Après je comprends parfaitement ton interrogation concernant le cas a > 1.
Je regarde si je trouve pas une erreur quelque part et je t'en fais part.
Je te remercie pour cette vérification.
Néanmoins est il possible que si l'aire jusqu'à une valeur finie ( par exemple 2 ) soit > 0 l'aire en +oo soit égale à 0 sachant que la fonction x²e^(-x) reste supérieure à e^(-x) et donc que la fonction intégrale (aire) de cette différence de fonction est ( je crois ) croissante ?
Bon désolé mais je ne comprends pas où se trouve l'erreur.
Je suppose que c'est à la b) qu'il y a le problème, mais je ne comprends pas pourquoi le résultat obtenu n'est pas correct.
La dérivée est bonne (j'ai vérifié plusieurs fois) et le calcul de H(a) - H(1) me paraît correct également.
Il est tout à fait possible que l'aire en +oo soit égale à 0 car si tu remarques bien, la différence entre les deux fonctions se réduit jusqu'à devenir tangent à 0.
Pour t'en convaincre essaye de calculer f(x) et g(x) pour x très grand, prend par exemple 10000 ça devrait suffire pour que tu comprennes que le résultat est proche de 0
Je suis donc dans une impasse totale et je n'ais aucune idée de comment en sortir.
Si quelqu'un peux m'aider à trouver une ( ou plusieurs ) erreur(s) dans mon raisonnement je le remercie d'avance
Maxime.
