Intégrale composée exponentielle [Tle S]

[Maxime16730]

Bonjour. :we:

J'ai eu un devoir de maths récemment dont voici une partie des question :

[...] Partie B II) h est la fonction définie sur R par : h(x)=(x²-1)e^-x
a) Déterminer une primitive H de h sur R sachant qu'elle s'exprime sous la forme H(x)=(ax²+bx+c)e^-x où a b et c sont trois nombres.
b) est un nombre tel que >=1.
On considère la partie du plan délimitée par f(x) ( x²e^-x) et g(x) (e^-x) et les droites d'équation x=1 et x=;).
Déterminez en fonction de l'aire A(;)) exprimée en unité d'aire , de cette partie du plan.
c) Quelle est la limite de A(;)) lorsque tend vers +l'infini ?

Dans le cours, on nous apprends à calculer les primitives composées d'exponentielles avec la formule suivante u'e^u ==> e^u

Or dans l'exercice cela ne correspond pas puisque si u=-x alors u'=-1 et non pas (x²-1)
J'ai alors voulu m'arranger pour retomber sur ce résultat en me servant de (x²-1) = -1(-x²+1)

On aurais donc eu (-x²+1)u'e^u ==> (-x²+1)e^u ==> (-x²+1)e^-x

a=-1 & c=1

Bien que cela me paraissait bizarre , j'ai quand même voulu avancer dans le problème

Or , je sais qu'une intégrale ( quand elle peut être ramener à une aire , soit dans ce cas la ) est strictement croissante et positive

Or dans ce cas la , cette fonction ne correspond pas à la solution car elle est négative pour x>1 .

Je suis donc dans une impasse et ma réponse à la question précédente est ... Fausse

J'ai longtemps essayé de faire d'autres méthodes pour trouver cette (...) de primitive sans résultats :mur:


Que devrais-je faire pour résoudre ce problême

Merci d'avance pour votre aide

[ampholyte]

Bonjour,

On te dit :

Déterminer une primitive H de h sur R sachant qu'elle s'exprime sous la forme H(x)=(ax²+bx+c)e^-x où a b et c sont trois nombres.

Cela signifie que la primitive de h est de la forme
H(x) = (ax² + bx + c)e^(-x)

La dérivée de H(x) est donc h(x).

Dérive H(x) et identifie les coefficients a, b et c

[capitaine nuggets]

Salut !

H est une primitive de h sur R donc en dérivant H on doit "retomber" sur h :

Identifie H' à h en dérivant H :++:

[Maxime16730]

H(x)=(ax²+bx+c)
H'(x)=(2ax+b)

Je ne crois pas pouvoir retomber sur h(x) car mon résultat est du 1er degré contrairement à mon expression (x²+1)e^-x qui est du second degré

Comment dois-je m'aranger pour retomber sur mon résultat ? :)

[ampholyte]

Attention

H(x) = (ax² + bx + c)e^(-x) (forme uv)

Donc

H'(x) = (2ax + b)e^(-x) - (ax² + bx + c)e^(-x)

H'(x) = (2ax + b - ax² - bx - c)e^(-x)

H'(x) = (-ax² + (2a - b)x + (b - c)) e^(-x)

H'(x) = h(x) = (x²-1)e^(-x)

Donc :

(-ax² + (2a - b)x + (b - c)) = (x²-1)

A toi d'identifier a, b et c.

[Maxime16730]

La je dois avouer qu j'ai pas été bon ^^' ...

On récupère la formule H'(x)=u'v-uv'

(-ax²+(2a-b)x+(b-c))e^-x=(x²-1)e^-x
-ax²+(2a+b)x+b-c=x²-1

On à donc le système suivant :

-a=1
2a+b=0
b-c=-1

a=-1
2*-1+b=0 <==> b=2
2-c=-1 <==> c=3

On aurais donc si je n'ais pas fait d'erreur H(x)=(-x²+2x+3)e^-

[ampholyte]

Voilà c'est ça.

Attention encore

H'(x)=u'v-uv'

C'est H(x) = uv

H'(x) = u'v + uv'

[Maxime16730]

Ah petite erreur de ma part . Mon système est-il tout de même bon ?

[ampholyte]

Attention à tes signes tu changes d'une ligne à l'autre,

Le système est le suivant :
(-ax² + (2a - b)x + (b - c)) = (x²-1)

-a = 1 => a = -1

2a - b = 0 => b = -2

b - c = -1 => c = -1

[Maxime16730]

Je dois avouer qu'aujourd'hui je ne suis pas en grande forme ^^' ...

On aurais donc (-x²-2x-1)e^-x

Néanmoins , cette fonction est strictement négative et ne peux donc ( je crois ) pas être assimilée à une aire ... Est-elle bonne ?

[ampholyte]

Essaye de redériver si tu as un doute.

Petit point, lorsque l'on parle d'aire sous la courbe, celle-ci peut-être positive ou négative !!

Positive quand f(x) > 0
Négative quand f(x) < 0

Attention à ne pas confondre Aire et Aire sous une courbe

[Maxime16730]

Oui mais dans ce cas précis je pense que le résultat devrait être positif , en effet , cet exercice est défini pour donner l'aire entre deux courbes ( e^-x et x²e^-x ) , et je ne crois pas que cela puisse être négatif. Je vais essayer de redériver. ;)

[ampholyte]

L'aire entre deux courbes peux-être négative si les aires des deux courbes sont négatives ou si l'aire négative l'emporte ! :).

[Maxime16730]

u'v+uv' & H'(x)=h(x) donc

==> (2ax+b)(e^-x)+(ax²+bx+c)(e^-x)=(x²-1)(e^-x)
==> (ax²+bx+2ax+b+c)(e^-x)=(x²-1)(e^-x)
==> (ax²+(a+b)x+(b+c))=x²-1

Soit :

{ a=1
{ a+b=0 <==> 1+b=0 <==> b=-1
{ b+c=-1 <==> -1+c=-1 <==> c=0

Si je n'ais pas fait d'erreur en redérivant on aurais donc (x²-x)(e^-x)

Est-ce ça ? ;)

[ampholyte]

Je dérive l'expression H(x) obtenu

H'(x) = [(-x²-2x-1)e^-x]' = (-2x - 2)e^(-x) - (-x² - 2x - 1)e^(-x)

= [-2x - 2 + x² + 2x + 1]e^(-x) = (x² - 1)e^(-x) = h(x)

Donc la dérivée est juste !

[Maxime16730]

Ok ( désolé, je dois être un peu saoulant mais j'essaye de comprendre).

On à donc bien

(-x²-2x-1)(e^-x)

L'aire de 1 à ;) est donc une intégrale qui revient à

A=(-;)²-2;)-1)(e^-x)-(-1²-2*1-1)(e^-x)
A=4(e^-x)+(-;)²-2a-1)(e^-x)
A=(-a²-2a+3)(e^-x)

Je ne vois pas ou j'ai fait l'erreur mais l'aire est négative et tend vers 0 ce qui ne correspond à priori pas à l'énoncé :/

[Maxime16730]

En effet l'énoncé faisait chercher l'aire entre deux coubes ( x²e^-x et e^-x ) or ces deux courbes sont toutes les deux strictement positives et non confondues

Comme le montre le dessin de l'énoncé on devrait donc et sauf erreur de ma part trouver une aire sous la courbe entre 1 et ;) avec ;)>1 strictement positive et croissante .

[ampholyte]

Tu sais que

f(x) = ( x²e^-x) et g(x) = (e^-x)

Donc

h(x) = f(x) - g(x) = x²e^(-x) - e^(-x) = (x² - 1) e^(-x)

A(x) = (-;)² - 2;) - 1)(e^-x) - (-1² - 2*1 - 1)(e^-x)
A(x) = (-a² - 2a + 3)e^(-x)

c) Quelle est la limite de A(;)) lorsque ;) tend vers +l'infini ?

A(a) = (-a² - 2a + 3)e^(-a)

Donc la limite tend vers 0.

Je ne vois pas de problème avec ce résultat la courbe h(x) tend bien vers 0 en +oo.

La différence de deux aires peux être négatif.

Supposons que l'aire f(x) = 3 et l'aire g(x) = 4 alors aire de h(x) = 3 - 4 = -1

Même si l'aire de f(x) et de g(x) sont positifs l'aire de la différence peux-être négatif !

De plus, les deux fonctions ne sont pas croissantes mais tendent toutes les 2 vers 0 en +oo.

[Maxime16730]

En théorie oui et le resultat que tu dit est probablement être bon mais si tu as une calculette tu pourras remarquer que x²e^(-x)>e^(-x) sur ]1;+l'infini[ donc la fonction aire est donc obligatoirement positive ( par exemple l'aire entre 1 et 2 de x²e^(-x) et e^-(x) est positive , et cela sans calcul , juste en regardant le dessin. Si la fonction aire semble et est convergente vers une limite finie, celle-ci ne peut en aucun cas être égale à 0 mais toujours >0 . La suite est donc forcément croissante bien que convergente.

Je n'ais fait aucun calcul pour obtenir ce résultat, j'ai simplement regardé le dessin. Je suis conscient que je ne suis pas excellent en maths et que j'ai fait beaucoup d'erreurs dans ce calcul. Néanmoins ton résultat ne me semble pas logique du tout.

Pourrais tu au moins m'expliquer comment trouve t'on une aire négative en retranchant une "petite" fonction à une "grande"?

Désolé si j'insiste un peu mais je ne conçoit pas du tout comment ce type de résultat peut-il arriver ^^

[ampholyte]

Attention, l'aire en +oo est bien 0 car l'aire de x²e^(-x) tend vers 0 en +oo et idem pour e^(-x).

Après je comprends parfaitement ton interrogation concernant le cas a > 1.

Je regarde si je trouve pas une erreur quelque part et je t'en fais part.