Dm Algebre Linéaire

[Zazz]

Bonjour, j'ai un Dm a faire pour la rentré en Algèbre Linéaire, je suis un peu perdu a tout les niveau mais bon si vous pouviez déjà m'aider a résoudre un exercice ça serai gentil .... :

Soient E un R-espace vectoriel et soit (u1,u2,u3) une famille libre de vecteurs de E. Soit v appartient a E. Démontrer que la famille (u1,u2,u3,v) est une famille libre de E si et seulement si v n'appartient pas a vect(u1,u2,u3).

Voila, Merci...

[othmanB]

il suffit de montrer que si V appartient a vect(u1,u2,u3) alors (u1,u2,u3,v) est une famille liéé :) est ça c'est facille a montrer :)

[anonyme111]

On suppose que (u1,u2,u3,v) est une famille libre de E. (l=lambda)
alors l1u1+l2u2+l3u3+l4v=0 <=> l1=l2=l3=l4=0
raisonnons par l'absurde
si v appartient à vect(u1,u2,u3), v peut s'éxprimer en combinaison linéaire de u1 u2 u3
v=m1u1+m2u2+m3u3
d'ou l1u1+l2u2+l3u3+l4v= l1u1+l2u2+l3u3+l4(m1u1+m2u2+m3u3)
et la tu conclues pour le sens direct ( on voit que u1,u2,u3,v sont liés, donc absurde )
<=
v n'appartient pas à vect(u1,u2,u3), u1,u2,u3 étant une famille libre, (u1,u2,u3,v) également.

Corrigez moi si je dis une bêtise.

[Zazz]

d'accord merci j'ai a peu pres comprit, mais quand on a :
l1u1+l2u2+l3u3+l4v= l1u1+l2u2+l3u3+l4(m1u1+m2u2+m3u3) en quoi on voit que (u1,u2,u3,v) est lié ? Enfin mettre ca, ca montre que l1,l2,l3 et l4 sont différent de 0 ?
Je sais pas si je me suis bien exprimé ...

[anonyme111]

on obtient une combinaison linéaire du style n1u1+n2u2+n3u3 en factorisant les m1 avec les l1 etc.
Sinon comme on a m1u1+m2u2+m3u3+(-1)v=0, on obtient une combinaison linéaire égale à 0 avec un coefficient non nul (-1)

[Zazz]

Donc d'accord, on obtient ensuite :
(l1+l4m1)u1+(l2+l4m2)u2+(l3+l4m3)u3
et comme (u1,u2,u3) est une famille libre alors :
l1+l4m1 = 0
l2+l4m2=0
l3+l4m3=0
mais du coup ca montre pas du tout que (u1,u2,u3,v) est lié

Dsl de rien comprendre ...

[anonyme111]

Je t'invite à consulter ma modification au dessus.

[Zazz]

D'accord merci