Exercice 2 de l'Olympiade Académique de 2011

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes
J'ai remarqué qu'aux Olympiades de 1ère sont prônés les raisonnements par tâtonnement
Personnellement je n'aime pas ça je préfère des démonstrations de mathématique pure

A ce propos, voici la correction du deuxième exercice proposé pour les olympiades de 2011 (lien : http://www2.ac-lyon.fr/enseigne/math/IMG/pdf/enonce2011.pdf ) :

http://www2.ac-lyon.fr/enseigne/math/IMG/pdf/correction_ex2.pdf

Quelqu'un a-t-il une correction plus pure mathématiquement ?
(je veux dire par cela qu'on ne commence pas par supposer ou par observer ...)

[Doraki]

Donc tu veux une correction qui efface tout le cheminement et qui balance des propriétés qui semblent venues de nulle part ?

[upium666]

Donc tu veux une correction qui efface tout le cheminement et qui balance des propriétés qui semblent venues de nulle part ?

Absolument pas

"1. Le nombre 4 est atteignable car 1+2-3+4=4"
"4.[...]L’observation des sommes produites peut amener la
solution générale"

J'ai dit que PERSONNELLEMENT je n'aimais pas trop ce type de raisonnements :

En ce qui concerne la question 4 : l'observation ne peut amener qu'à une conjecture, or il faut une démonstration je pense :hum:

[Doraki]

Ben la démonstration est quand il calcule "1+2+...+n - (n+1)+(n+2) ... - (n²-1)+n² = n²"

En maths c'est vital de savoir expérimenter, chercher des trucs, faire des observations, faire des conjectures etc.

[upium666]

Ben la démonstration est quand il calcule "1+2+...+n - (n+1)+(n+2) ... - (n²-1)+n² = n²"

En maths c'est vital de savoir expérimenter, chercher des trucs, faire des observations, faire des conjectures etc.

Je suis d'accord
Cependant les conjectures ont leur limites
Une conjecture peut être valable pour les quelques premiers éléments qu'on utiliser pour l'expérimentation comme vous dites ... mais peut s'avérer fausse si on la généralise !

Exemple :
On observe que :



Si l'on utilise ce type de raisonnements que je n'aime pas, on conjecturerais que :

Cependant, il suffit de regarder que cela ne marche pas pour n=4



Exemple où la conjecture fonctionne :
1=1²
1+3=2²
1+3+5=3²
1+3+5+7=4²
On observe qu'un carré parfait n'est autre qu'une somme d'entiers impairs consécutifs à partir de 1
A partir de cette observation, on peut poser :
En développant le premier terme on retrouve effectivement

Personnellement, aller du particulier au général, je ne trouve pas que c'est une démarche très scientifique, ça reste personnel

Pour conclure :
Observer, je suis d'accord, mais en faire des généralités pas vraiment :/

Avec cette rigidité de pensée que j'ai, je sens que je vais (très) mal passer les olympiades de 2013 :ptdr: (je vais rester figé à essayer de comprendre et démontrer quelque chose qui ne demande que de l'observation ...)

[Archytas]

Tu devrais quand même essayer " l'expérimentation " pour l'instant tu n'es face qu'à des problèmes qu'on peut encore appréhender ou visualiser mais quand tu devras résoudre des problèmes très abstraits l'utilisation d'un exemple peut être extrèmement utile !
Pour prendre un exemple simple quand tu dois étudier une suite il est souvent préférable de commencer par calculer les deux/trois premiers termes pour voir comment elle se comporte et avec un peu de chance tu peux arriver à une hypothèse de récurence par ce biais qui amortirais largement le temps passé à calculer ces premiers termes.
Quant à la rigueur, ce qui ne serait pas rigoureux serait justement de ne pas démontrer l'hypothèse de récurrence : "on suppose que tous les nombres impairs supérieurs à 3 sont premiers : 3, 5, 7 sont premiers donc ça doit être vrai pour le reste... " ça c'est pas très très rigoureux (et pas très très vrai non plus). Bref pour moi se rattacher au concret n'est pas une perte de rigueur mais une preuve de lucidité et note qu'il y a une différence entre observer habilement et sortir un résultat de son chapeau, c'est ce que, je crois, tu penses avoir eu affaire dans ce sujet, non ?

[Black Jack]

Je suis d'accord
Cependant les conjectures ont leur limites
Une conjecture peut être valable pour les quelques premiers éléments qu'on utiliser pour l'expérimentation comme vous dites ... mais peut s'avérer fausse si on la généralise !

Exemple :
On observe que :



Si l'on utilise ce type de raisonnements que je n'aime pas, on conjecturerais que :

Cependant, il suffit de regarder que cela ne marche pas pour n=4



Exemple où la conjecture fonctionne :
1=1²
1+3=2²
1+3+5=3²
1+3+5+7=4²
On observe qu'un carré parfait n'est autre qu'une somme d'entiers impairs consécutifs à partir de 1
A partir de cette observation, on peut poser :
En développant le premier terme on retrouve effectivement

Personnellement, aller du particulier au général, je ne trouve pas que c'est une démarche très scientifique, ça reste personnel

Pour conclure :
Observer, je suis d'accord, mais en faire des généralités pas vraiment :/

Avec cette rigidité de pensée que j'ai, je sens que je vais (très) mal passer les olympiades de 2013 :ptdr: (je vais rester figé à essayer de comprendre et démontrer quelque chose qui ne demande que de l'observation ...)

Une conjecture n'est rien d'autre qu'une "supposition" faite à partir de quelques cas particuliers.
Il reste ensuite à démontrer la validité ou non de cette conjecture dans le cas général.

La conjecture sert donc à imaginer une solution possible, solution quasi inimaginable si on tente d'attaquer directement le cas général.
Cela ne prouve pas que la conjecture soit vraie, il reste à la démontrer (ou à l'infirmer).
Mais c'est beaucoup plus facile de démontrer (ou d'infirmer) une solution supposée que de ne pas savoir vers où aller pour trouver une solution sans l'avoir "conjecturé".
Tu as grand tort de penser que ce n'est pas une démarche scientifique.

Le but est de résoudre un problème et si le passage par une conjecture facilite cette résolution, on ne doit pas se l'inderdire, ce serait "contre-productif".

:zen:

[benekire2]

Tu veux sérieusement faire l'inverse ??? Aller du général au particulier ?? Tu dois être une sacré bête :ptdr: quand on sait que tous les mathématiciens ont fait l'inverse (ces petits bras du nom de Gauss, Euler ...).

Faire des essais conjecturer c'est vital comme le dit Doraki, et si tu ne fais pas ça tu sera perdu dès que tu fera un tout petit peu de maths !

Bien sûr une conjecture (raisonnable) de prouve rien, mais il y a rarement d'autre moyens d'intuiter le résultat. Tu semble si choqué que le texte explique le raisonnement, mais le jour ou tu verra de la magie tu regretteras ce genre de textes.

En tout cas je te souhaite bien du courage pour voir sans essayer :id:

[upium666]

Tu veux sérieusement faire l'inverse ??? Aller du général au particulier ?? Tu dois être une sacré bête :ptdr: quand on sait que tous les mathématiciens ont fait l'inverse (ces petits bras du nom de Gauss, Euler ...).

Faire des essais conjecturer c'est vital comme le dit Doraki, et si tu ne fais pas ça tu sera perdu dès que tu fera un tout petit peu de maths !

Bien sûr une conjecture (raisonnable) de prouve rien, mais il y a rarement d'autre moyens d'intuiter le résultat. Tu semble si choqué que le texte explique le raisonnement, mais le jour ou tu verra de la magie tu regretteras ce genre de textes.

En tout cas je te souhaite bien du courage pour voir sans essayer :id:

Jusqu'à aujourd'hui je fais ainsi :p
Je commencce par le calcul littéral, ça peut expliquer pourquoi je comprends facilement les cours mais comme vous l'avez dit ça me posera rapidement et énormément problème
Bon courage à moi comme vous le dites ! :p