[Tle S] - Relations Tr Rectangles

[Anonyme]

Voici mon problème.

Sur un segment [AB] on trace un demi-cercle C de centre O mil[AB]
et un autre demi cercle c' de diamètre AO dans le même demi-plan.
Un droite perpendiculaire à AB coupe les demi cercles C et C' en Q et
P et [AB] en M
Je dois prouver que AQ² = 2 AP²
j'ai essayé avec tous les triangles rectangles existants je n'y arrive
pas.
On a AQM, QBM, ABQ, APM, OPM, AOP et PBM tr rectange, mais franchement
là je vois pas si j'ai oublié quelque chose.

Merci si vous trouvez une piste.

Dudu.

[Anonyme]

"dudu25" a écrit dans le message de
news:c730e1ef.0407192348.5a80523d@posting.google.com...
> Voici mon problème.
>
> Sur un segment [AB] on trace un demi-cercle C de centre O mil[AB]
> et un autre demi cercle c' de diamètre AO dans le même demi-plan.
> Un droite perpendiculaire à AB coupe les demi cercles C et C' en Q et
> P et [AB] en M
> Je dois prouver que AQ² = 2 AP²
> j'ai essayé avec tous les triangles rectangles existants je n'y arrive
> pas.
> On a AQM, QBM, ABQ, APM, OPM, AOP et PBM tr rectange, mais franchement
> là je vois pas si j'ai oublié quelque chose.
>
> Merci si vous trouvez une piste.
>
> Dudu.

Je dirais produit scalaire : exprime AP² comme produit scalaire de deux
vecteurs pas trop compliqués.

[Anonyme]

"dudu25" a écrit dans le message de
news:c730e1ef.0407192348.5a80523d@posting.google.com...
> Voici mon problème.
>
> Sur un segment [AB] on trace un demi-cercle C de centre O mil[AB]
> et un autre demi cercle c' de diamètre AO dans le même demi-plan.
> Un droite perpendiculaire à AB coupe les demi cercles C et C' en Q et
> P et [AB] en M
> Je dois prouver que AQ² = 2 AP²
> j'ai essayé avec tous les triangles rectangles existants je n'y arrive
> pas.
> On a AQM, QBM, ABQ, APM, OPM, AOP et PBM tr rectange, mais franchement
> là je vois pas si j'ai oublié quelque chose.
>
> Merci si vous trouvez une piste.
>
> Dudu.

AP = R*Cos(OAP)
AQ = 2*R*Cos(OAQ)
avec R, rayon du cercle
et :
Cos(OAP) = AM/AP
Cos(OAQ) = AM/AQ

d'où le résultat demandé..

A.J.

[Anonyme]

Bonjour,

A.J. a écrit:
> "dudu25" a écrit dans le message de
> news:c730e1ef.0407192348.5a80523d@posting.google.com...
>[color=green]
>>Voici mon problème.
>>
>>Sur un segment [AB] on trace un demi-cercle C de centre O mil[AB]
>>et un autre demi cercle c' de diamètre AO dans le même demi-plan.
>>Un droite perpendiculaire à AB coupe les demi cercles C et C' en Q et
>>P et [AB] en M
>>Je dois prouver que AQ² = 2 AP²
>>j'ai essayé avec tous les triangles rectangles existants je n'y arrive
>>pas.
>>On a AQM, QBM, ABQ, APM, OPM, AOP et PBM tr rectange, mais franchement
>>là je vois pas si j'ai oublié quelque chose.
>>
>>Merci si vous trouvez une piste.
>>
>>Dudu.
>
>
> AP = R*Cos(OAP)
> AQ = 2*R*Cos(OAQ)
> avec R, rayon du cercle
> et :
> Cos(OAP) = AM/AP
> Cos(OAQ) = AM/AQ
>
> d'où le résultat demandé..
>
> A.J.[/color]

Certes, mais sans cos ça marche aussi de façon plus élémentaire...
Et le sujet dit "Relations Tr Rectangles" :

Les triangles clés sont APM et AOP, non seulement rectangles mais
semblables, donc AP/AO = AM/AP ou encore AP^2 = AM.AO :

Dans tout triangle rectangle, un côté de l'angle droit est moyen
proportionnel entre l'hypothénuse entière et sa projection sur
l'hypothénuse (2nde ?)

On fait pareil avec Q pour obtenir AQ^2...

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

OPA et PMA semblables donc OP/PM=OA/PA=PA/MA
d'où PA^2=OA*MA
BQA et QMA semblables doncBQ/QM=BA/QA=QA/MA
d'où QA^2=BA*MA

On a donc QA^2=(2*OA)*MA=2*(OA*MA)=2*PA^2.

C'est sympa comme exercice.
Je crois que mes élèves de 2nde de l'an prochain vont tester.

Y. Breney

[Anonyme]

"yannis breney" wrote in message news:...
> OPA et PMA semblables donc OP/PM=OA/PA=PA/MA
> d'où PA^2=OA*MA
> BQA et QMA semblables doncBQ/QM=BA/QA=QA/MA
> d'où QA^2=BA*MA
>
> On a donc QA^2=(2*OA)*MA=2*(OA*MA)=2*PA^2.
>
> C'est sympa comme exercice.
> Je crois que mes élèves de 2nde de l'an prochain vont tester.
>
> Y. Breney

C'est tout à fait le genre de réponse qui est simple (voire évidente
maintenant) qui est dans "l'esprit" de ce que j'ai à faire... Merci,
je crois que je vais retourner en 2nde (snif) )

Dudu

[Anonyme]

dudu25 wrote:
> "yannis breney" wrote in message news:...
>[color=green]
>>OPA et PMA semblables donc OP/PM=OA/PA=PA/MA
>> d'où PA^2=OA*MA
>>BQA et QMA semblables doncBQ/QM=BA/QA=QA/MA
>> d'où QA^2=BA*MA
>>
>>On a donc QA^2=(2*OA)*MA=2*(OA*MA)=2*PA^2.
>>
>>C'est sympa comme exercice.
>>Je crois que mes élèves de 2nde de l'an prochain vont tester.
>>
>>Y. Breney
>
>
> C'est tout à fait le genre de réponse qui est simple (voire évidente
> maintenant) qui est dans "l'esprit" de ce que j'ai à faire... Merci,
> je crois que je vais retourner en 2nde (snif) )
>
> Dudu[/color]

Les triangles semblables sont un outil très puissant. Beaucoup de
problèmes de bac qu'on impose de faire avec des complexes (par exemple)
seraient parfois beaucoup plus simples à traiter avec des triangles
semblables, et la 1ère partie du pb du concours général de l'an dernier
(sur les triangles pseudo-rectangles) pourrait presque être traîté par
un bon élève de Seconde avec.

Donc : ne panique pas