Algebre- Espaces vectoriels ?

[Yozamu]

Bonjour à tous.

J'ai terminé cette leçon, je pense, car le controle est imminent.
Cependant, je n'ai Rien compris. Mais rien du tout, vraiment.
Voilà principalement les questions que je me pose(inutile de me renvoyer à la définition, c'est bien là que se trouve mon probleme, je ne les comprend pas):

1) Que sont exactement la pseudo associativité, et pseudo distributivité; globalement je ne comprends pas les axiomes définissants un K espace vectoriel, ni pourquoi on met le prefixe "pseudo"?

2) Quelle est la différence entre une loi externe et interne et comment prouver qu'une loi est externe par exemple?

3) Qu'est-ce qu'une combinaison linéaire concrètement?

4) Quand parle t on de R espace vectoriel ou de C e-v ou de K e-v, ... ?

5) Qui sont OE et OK exactement? Parce que ça doit etre un 0 pour E et pour K respectivement mais je comprends pas trop...

6) Qu'est-ce qu'un morphisme d'e-v?

7) Que sont les "applications linéaires" et plus particulièrement la trace ?

8) Qu'est-ce qu'un sous e-v et comment le caractérise-t-on(apparemment il y a une histoire de stabilité par combinaison linéaire mais je ne comprends pas)?

9) Pour vérifier que F(par exemple) n'est pas vide on prouve que 0 appartient à F. Comment fait-on?

10) Je n'ai pas compris le théorème du système générateur

11) Je ne comprends pas bien comment prouver(ou meme voir) qu'une famille est libre

12) Dans un théorème on parle de surfamille et sous famille, mais la prof n'a meme pas expliqué ce que c'etait ni comment on pouvait les reconnaitre

13) Qu'est-ce qu'une famille génératrice et comment prouve-t-on qu'elle l'est?


Voilà, vous voyez maintenant à quel point je ne comprends pas cette leçon...
Vous pouvez répondre à quelques questions seulement, car je vois bien que le nombre est conséquent.

Merci d'avance

[Doraki]

Je n'ai jamais vu de cours qui mettait "pseudo-" devant les propriétés des lois.

Une loi de composition interne d'un ensemble E c'est une fonction qui prend deux éléments de E et qui fabrique un élément de E : une fonction de E*E dans E.

En l'occurence dans la définition "+" désigne une loi de composition interne, tandis que la loi "." est une fonction de K*E dans E, donc on la qualifie d'externe par opposition à interne

[Glxblt76]

Une combinaison linéaire, c'est toute équation de la forme f(x1, x2, ..., xn)=a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b

les a sont des constantes, elles peuvent chacune prendre n'importe quelle valeur mais une fois qu'elles l'ont, elles la gardent ^^
Les x sont les variables, c'est-à-dire des éléments qui peuvent changer.

On dit que c'est linéaire par analogie avec une fonction affine de type f(x) = ax + b : tu obtiens une droite par représentation graphique, donc quelque chose qui a une forme linéaire.

Trèèèèèèès concrètement, un exemple d'utilisation des combinaisons linéaires est la régression multilinéaire. En chimie, on l'utilise pour relier une propriété à des descripteurs de structure moléculaire.

Par exemple Température d'ébullition = 35fois nombre de carbone + 12 fois nombre d'azotes + 8fois nombre de double-liaisons ... Evidemment les méthodes de relation structure-propriété n'utilisent pas ces descripteurs et ces valeurs là, mais le principe c'est ça. Tu vois les chiffres 35, 12 et 8 sont les a tandis que les nombres de carbone, azote et double-liaisons sont les variables, qui changent suivant l'élément pour lequel la propriété est étudiée.

[jlb]

Le plus simple c'est déjà de visualiser le truc dans R² ouR^3 par exemple et puis de le formaliser

somme de deux vecteurs: opération interne
multiplication par un scalaire: opération externe
on souhaite combiner les vecteurs entre eux après ou non les avoir multiplié par des scalaires: c'est les axiomes.

OK=0 de R et OE=(0,0) le vecteur nul

les sous ev sont alors des parties stables par combinaison linéaire ( pour R², droite vectorielle pour R^3 droite vectorielle, plan vectorielle par exemple)

ensuite tu dois bien comprendre la notion de base: avec une famille de vecteurs on écrit de manière unique tous les autres vecteurs.

une famille génératrice permet d'écrire tous les autres vecteurs mais tu n'as pas l'unicité

une famille libre tu as unicité des écritures mais tu n'es pas sur de pouvoir décomposer tous les vecteurs

( pour R²: une base:{ (0,1),(1,0)} on écrit de manière unique tous les vecteurs (a,b)=a(1,0)+b(0,1)

{(0,1),(2,3),(3,3)} est une famille génératrice (mais elle n'est pas libre) (a,b)=b(0,1) -a(2,3)+a(3,3) mais aussi (a,b)=a/3 (3,3) - a(0,1) +b(0,1) par exemple

{(0,1)} est une famille libre )

bon, ce n'est pas très rigoureux, cela t'aidera peut-être, bon courage.

[Yozamu]

Merci pour vos réponses.

Doraki: Comme de K*E dans E on a toujours E, j'ai cru qu'on était toujours dans le meme ensemble mais plus petit(K non compris donc) d'où ma question sur loi interne/externe

Glxblt76: On parle souvent de combinaisons linéaires dans la leçon, pourtant je ne vois pas où on les utilise véritablement?

jlb: J'ai pas bien compris la partie sur les familles, surtout concernant les familles génératrice, comment les reconnaitre, les caractériser...