Géométrie de l'espace euclidien

[Bloodthirsty]

Bonjour, j'aurais deux questions à vous soumettre si ça vous dérange pas :

1) Soit un système orthonormé direct {v1, v2, v3}, démontrer que tout vecteur v est égal à v.v1v1 + v v2v2 + v v3v3 ( le tout en vecteur )
2) On suppose que l'équation a ^ x = b a une solution x. Démontrer que a est orthogonal à b et calculer x en fonction de a, b et a ^ b. ( le tout en vecteur aussi)

Je pense que pour la 1), il faut partir de la formule de base : vect(u) = a vect(OA) + b vect(OB) + c vect(OC) mais ce n'est qu'une hypothèse...

Merci d'avance, bonne journée.

[Clu]

Salut

Pour éclaircir les notations, (a,b) désignera le produit scalaire de a par b et [a,b,c] le produit mixte des vecteurs a, b et c (déterminant dans une base orthonormale direct).

1)

Tout vecteur v peut s'écrire dans la base (v1,v2,v3). On note a1,a2 et a3 ses coordonnées dans cette base, i.e. v = a1v1 + a2v2 + a3v3.
Ensuite calcule (v,v1), (v,v2) , (v,v3) en tenant compte du fait que (v1,v2,v3) est une famille orthonormale.

2)

Montrer que a est orthogonal à b signifie montrer que (a,b) = 0.
Pour cela il faut en revenir à la définition mathématique de a^x : a^x est l'unique vecteur vérifiant [a,x,y]=(a^x,y) pour tout vecteur y. En utilisant cette propriété calcule (a,b)...

Ensuite si tu as bien compris la notion de produit vectoriel (fais des dessins si ça peut t'aider) alors tu comprendras que par définition de b on a (a,b,a^b) forme une base orthonormale directe de l'espace. Tu peux utiliser ensuite le résultat de la question 1 pour calculer les coordonnées de x dans cette base.


Je ne sais pas si ces indications suffiront ?

[Bloodthirsty]

Je vais essayer avec tes indications, je te tiens au courant si je suis toujours bloqué, merci :)

[Bloodthirsty]

pour la 1) (v,v1) = a1v1v1 + a2v2v1 + a3v3v1 ; (v,v2) = a1v1v2 + a2v2v2 + a3v3v2 ; (v,v3) = a1v1v3 + a2v2v3 + a3v3v3. Je sais pas si mon raisonnement avance à quelque chose. :'(

[Clu]

pour la 1) (v,v1) = a1v1v1 + a2v2v1 + a3v3v1 ; (v,v2) = a1v1v2 + a2v2v2 + a3v3v2 ; (v,v3) = a1v1v3 + a2v2v3 + a3v3v3. Je sais pas si mon raisonnement avance à quelque chose. :'(

Oui mais tu peux continuer le calcul. Combien vaut (v1,v1) ? (v2,v1) ? (v3,v1) ? (sachant que la famille (v1,v2,v3) est orthonormale)

[Bloodthirsty]

Ah oui donc je continue : (v,v1) = a1v1v1 + 0 + 0 = a1v1v1
(v,v2) = 0 + a2v2v2 + 0 = a2v2v2
(v,v3) = 0 + 0 + a3v3v3 = a3v3v3
Donc vect(v) = v.v1v1 + v.v2v2 + v.v3.v3

[Clu]

Ah oui donc je continue : (v,v1) = a1v1v1 + 0 + 0 = a1v1v1
(v,v2) = 0 + a2v2v2 + 0 = a2v2v2
(v,v3) = 0 + 0 + a3v3v3 = a3v3v3
Donc vect(v) = v.v1v1 + v.v2v2 + v.v3.v3

Attention n'écrit vect(v) c'est faux. C'est v = ....
Ensuite c'est bien ça mais c'est parce-que v1v1=1, v2v2=1, v3v3=1 (mais peut-être que tu l'avais vu).

[Bloodthirsty]

J'avais juste vu que (v1,v2) et (v3,v1) et (v2,v3) sont égaux à 0 car (v1,v2,v3 ) est une famille orthonormale

[Bloodthirsty]

Par contre tu pourrais m'éclairer davantage pour la question 2), je t'avoue que je ne comprend pas trop :)

[Clu]

Donne moi la définition que tu as d'un produit vectoriel.
Par ailleurs as-tu déjà utilisé les produits vectoriels en physique ?

[Bloodthirsty]

pour moi le produit vectoriel de u et v par exemple, c'est l'unique vecteur qui est orthogonal à ces deux vecteurs. Sinon, non j'ai jamais utilisé les produits vectoriels en physique :)

[Clu]

pour moi le produit vectoriel de u et v par exemple, c'est l'unique vecteur qui est orthogonal à ces deux vecteurs. Sinon, non j'ai jamais utilisé les produits vectoriels en physique

Malheureusement c'est faux puisqu'il y a une infinité de vecteurs orthogonaux à u et v (si w est orthogonal à u et v alors tous les vecteurs colinéaires à w le sont).
Mais tu ne peux répondre à la question 2 qu'avec une définition mathématique bien précise du produit vectoriel. Quelle est donc celle de ton cours ?

[Bloodthirsty]

Mots par mots, la définition qu'on me donne est : Soit (e1, e2, e3) une base orthonormé directe des vecteurs de l'espace euclidien. Le produit vectoriel est une application qui à deux vecteurs u et v associe un vecteur noté u ^ v et vérifiant les propriétés suivantes : u ^ v = -v ^ u , u ^ (xv + yw) = xu ^ v + yu ^ w et e1 ^ e2 = e3, e2 ^ e3 = e1, e3 ^ e1 = e2

[Clu]

Eh bien en utilisant ces propriétés et notant a=a1v1+a2v2+a3v3, x=x1v1+x2v2+x3v3 calcule a^x puis (a,a^x) et tu trouveras 0.

[Bloodthirsty]

Parfait je trouve bien 0, merci pour tout :)