Exercice calcul de dérivée

[wolf07]

bonjour j'ai un petit problème pour un exercice :
1)on cherche à déterminer ne fonction f polynôme du 3éme degré sachant que sa courbe C dans un repère
orthonormal (O;i;j) vérifie les deux conditions suivantes:
-C passe par O et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -2
-la tangente à C en son point d'abscisse 1 est parallèle à la droite d'équation y=3x+1
-C passe par le point A (-1;2)
En posant f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, déterminer f
Dans toute la suite, on pourra supposer que f(x)=x^3+x^2-2x
2)déterminer les points d'intersection de C avec l'axe des abscisses.
3)donner une équation de la tangente à C en O, déterminer son point d'intersection avec C.
4)rechercher les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
5)on recherche l'abscisse a d'un points de C où la tangente passe par O
a)montrer que a est la solution de l'équation f(a)=af'(a)

merci à ceux qui peuvent m'aider

[annick]

Bonjour,
qu'as-tu déjà fait.
N'oublie pas que le coefficient directeur de la tangente en un point est donné par la valeur de la dérivée en ce point et que lorsqu'un point appartient à une courbe, les coordonnées de ce point vérifient l'équation de la courbe.

[ampholyte]

Bonjour,

1) Calcule la dérivée de f(x) = ax³ + bx² + cx + d en 0 et déduisant de f'(0) = -2, la valeur de c

Même chose pour f'(1) = 3 (3 étant la pente de la droite donc si les droites sont parallèles, les deux droites ont même pente), tu pourras obtenir une équation en fonction de a et b

Tu sais que f(0) = 0, tu pourras en déduire une valeur et que f(-1) = 2 => système deux équations à 2 inconnues

2) Tu dois résoudre l'équation f(x) = 0, (tu as déjà une solution donc tu peux factoriser sous la forme car la courbe passe en O) f(x) = (x - x1)(a'x² + b'x + c')

3) Tu as calculé avant f'(0) utilise la formule de la tangente : y = f'(xo)(x - xo) + f(xo)

4) Cela revient à chercher des pentes nulles donc lorsque f'(x) = 0

On verra la suite après.

[wolf07]

merci j'ai oublié de préciser que j'avais déjà fait les questions 2-3-4 c'est la première que je n'arrive pas a faire et je ne comprends pas la 5éme

[wolf07]

j'ai aussi déterminer c et d dans l'équation de f

[ampholyte]

Bon reprenons depuis le début et utilisons tes hypothèses :

On pose f(x) = ax³ + bx² + cx + d

C passe par O

Donc on sait que f(0) = 0 => f(0) = 0³ + 0² + 0 + d = 0 donc d = 0

et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -2

On a donc f(x) = ax³ + bx² + cx

On calcule f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Et f'(0) = -2 donc c = -2

On obtient alors f(x) = ax³ + bx² - 2x

la tangente à C en son point d'abscisse 1 est parallèle à la droite d'équation y=3x+1

Cela signifie que f'(1) = 3

f'(1) = 3a + 2b -2 = 3

3a + 2b = 5

C passe par le point A (-1;2)

f(-1) = 2

f(-1) = -a + b + 2 = 2

b - a = 0

Tu as donc un système

3a + 2b = 5
b - a = 0

Je te laisse poursuivre, on voit la 5 après.

[wolf07]

tu t'es trompé f(-1)=-a+b+2=2 mais merci pour ton aide

[ampholyte]

tu t'es trompé f(-1)=-a+b+2=2 mais merci pour ton aide

Mea culpa, j'ai corrigé

[wolf07]

par contre je vois pas comment faire pour la question 5a

[ampholyte]

5)on recherche l'abscisse a d'un points de C où la tangente passe par O
a)montrer que a est la solution de l'équation f(a)=af'(a)

On a f(a) = a³ + a² - 2a

On calcule la dérivée en a :

f'(a) = 3a² + 2a - 2

Donc la tangente vaut :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

En O, on obtient alors :

0 = f'(a)(0 - a) + f(a)

D'où f(a) = af'(a)

[wolf07]

d'accord merci beaucoup!