Espace vectoriel besoin d'aide svp !

[Vander]

Bonjour tout le monde. voilà j'ai eu un problème sur un exercice. j' aimerai avoir votre avis.
Énoncé :Soit A appartenant a Mn(K) et tA la matrice de Mn(K) dont les lignes 0,1,3; 8,1,-1 sont les colonnes de A par exemple: soit A=(1,2,-1;0,1,3;8,1,-1) et tA=(1,0,8;2,1,1;-1,3,-1)
tA est dite transposé de A. on dit que A est symétrique (respectivement antisymétrique) si tA=A(respectivement tA=-A)
1) Montrer que les ensembles Sn(K) et An(K) sont des matrices symétriques et antisymétriques sont des s.e.v de Mn(K).
2) Déterminer une base et la dimension de Sn(K) et de An(K) pour n=3. Généraliser à n quelconque.
3) Montrer que Mn(K) = Sn(K)+An(K)

J' ai cogité dessus c'est juste la mise en évidence qui me dérange un peu. Merci d' avance et bonne journée !

[Clu]

Je ne vais pas tout te rédiger mais juste te guider.

question 1 : tu montres d'abord que l'application A -> tA est une application linéaire.
Ensuite tu as par exemple pour 2 matrices A et B t(A+B) = tA + tB. Grâce à cette formule tu peux facilement montrer que Sn(K) et An(K) sont des sev de Mn(K).

question 2 : que proposes-tu pour n = 3 ?

question 3 : on a montre question 1 que Sn(K) et An(K) sont des sev de Mn(K) et tu trouveras à la question 2 que dim(Sn(K)) + dim(An(K)) = dim (Mn(K)).
Il te reste à montrer alors que l'intersection de Sn(K) et de An(K) est réduit à l'élément nul.
Cette question est simple mais il faut bien rédiger.