PGCD terminale S

par **Linette5** » 17 Fév 2013, 14:33

Bonjour,

Alors voilà j'ai un exercice à faire pour demain et je ne comprends pas du tout comment procéder (c'est de la spé maths). Voici l'énoncé:

On considère les suites (u(n)) et (v(n)) définies par:
Pour tout entier naturel n, u(n)=4n+1 et v(n)=5n+3

1. Quelles sont les valeurs possibles du PCGD de u(n) et v(n)?
2. Caractériser les valeurs de n pour lesquelles u(n) et v(n) ne sont pas premiers entre eux.

Je pense savoir comment faire pour la deuxième question... Je cherche les n tels que (4n+1)/(5n+3) soit une fraction irréductible et ce sera tous les autres, est-ce la bonne méthode?

Mais pour la première question, je ne vois absolument pas comment faire... Je connais la définition du PGCD, et ses conséquences, mais je ne vois pas comment l'appliquer ici, que me conseillez vous de faire? :hum:

Voilà! :)

par **Joker62** » 17 Fév 2013, 18:43

Bonsoir,

PGCD ou encore plus grand diviseur commun.

Soit d le pgcd de u(n) et v(n);

Donc d divise u(n) et d divise v(n)

Connais-tu le théorème qui dit que si d|a et d|b alors d divise n'importe quelle combinaison linéaire de a et b ?

par **Linette5** » 17 Fév 2013, 20:00

Oui Joker 62, je me suis servie de ce que tu as dit et j'ai trouvé comme faire en écrivant que le PGCD divise 5(4n+1)-4(5n+3)=20n+5-20n-12=-7
Donc les dviseurs en commun de u(n) et v(n) sont les diviseurs de 7, soit 1 et 7, donc PGCD=7! :we:

Merci beaucoup de ton aide! :)

Il me reste la question 2, est-e que ce que je pensais faire est la bonne méthode? Parce que ça ne me donne pas grand chose en fait.. :hum:

par **Linette5** » 17 Fév 2013, 21:10

Quelqu'un pour m'aider s'il vous plait? :$

par **Linette5** » 17 Fév 2013, 21:31

J'ai compris qu'il fallait que le PGCD soit différent de 1, donc forcément 7... Mais après je ne vois pas comment procéder pour caractériser n :/

par **chan79** » 17 Fév 2013, 21:52

Linette5 a écrit:J'ai compris qu'il fallait que le PGCD soit différent de 1, donc forcément 7... Mais après je ne vois pas comment procéder pour caractériser n :/

tu peux envisager différents cas:(vois si 4n+1 et 5n+3 sont nuls modulo 7)
n=0 [7]
n=1 [7]
n=2 [7]
n=3 [7]
n=4 [7]
n=5 [7]
n=6 [7]

par **Linette5** » 17 Fév 2013, 22:08

J'ai essayé, mais je ne vois pas bien où ça nous conduit... :hein:

par **Linette5** » 17 Fév 2013, 22:22

En faisant le calcul de 4n+1 et 5n+3 pour chaque n, je trouve que pour n congru à 0 modulo 7, 4n+1 et 5n+3 sont divisibles par 7, donc la réponse c'est que n doit etre congru à 5 modulo 7 c'est ça?

par **chan79** » 18 Fév 2013, 07:25

Linette5 a écrit:En faisant le calcul de 4n+1 et 5n+3 pour chaque n, je trouve que pour n congru à 0 modulo 7, 4n+1 et 5n+3 sont divisibles par 7, donc la réponse c'est que n doit etre congru à 5 modulo 7 c'est ça?

la réponse, c'est bien que n doit etre congru à 5 modulo 7
ça se vérifie rapidement avec un tableur

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