Holomorphie et dérivabilité
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Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 16 Fév 2013, 22:07
Bonjour,
On etudie en ce moment les fonctions complexes et je ne comprends pas trop la différence entre points de dérivabilité et points d'holomorphie . On dit qu'une fonction est holomorphe sur un ensemble si dans cet ensemble, elle est dérivable en chaque point. Dans ce cas, points de dérivabilité et d'holomorphie ça revient au même, non ? Bref, un peu perdu ....
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jlb
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par jlb » 16 Fév 2013, 22:15
Cryptocatron-11 a écrit:Bonjour,
On etudie en ce moment les fonctions complexes et je ne comprends pas trop la différence entre points de dérivabilité et points d'holomorphie . On dit qu'une fonction est holomorphe sur un ensemble si dans cet ensemble, elle est dérivable en chaque point. Dans ce cas, points de dérivabilité et d'holomorphie ça revient au même, non ? Bref, un peu perdu ....
bon, holomorphie tu dérives par rapport à une variable complexe, cela "rigidifie "un peu la situation, du coup la différentielle est une similitude ( condition de Cauchy)
et pour points de dérivabilité, tu dérives par rapport à un couple (x;y) et la différentielle est une application linéaire seulement sans rien savoir de plus.
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Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 16 Fév 2013, 22:33
Merci pour ta réponse mais si on part d'un exemple je pense que j'y verrais plus clair parce que là je vois toujours pas.
Par exemple si on étudie la fonction
.
On vérifie les conditions de Cauchy Rienmann et on en conclue que
. Alors les points d'holomorphie sont les points appartenant à l'ensemble
?
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jlb
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par jlb » 16 Fév 2013, 22:54
Cryptocatron-11 a écrit:Merci pour ta réponse mais si on part d'un exemple je pense que j'y verrais plus clair parce que là je vois toujours pas.
Par exemple si on étudie la fonction
.
On vérifie les conditions de Cauchy Rienmann et on en conclue que
. Alors les points d'holomorphie sont les points appartenant à l'ensemble
?
non, là cela ne va pas.
dans ton exemple, ta fonction est différentiable en tout point de R² et holomorphe pour les points
( où encore C-différentiable en les points
)
en espérant t'avoir un peu aidé
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Doraki
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par Doraki » 16 Fév 2013, 23:28
Graphiquement, holomorphe ça veut dire (quand t'es pas sur un point singulier) que f préserve les angles (orientation comprise) : si deux courbes font un angle droit en un point, alors après application de f, les images de ces deux courbes font toujours un angle droit.
(et quand t'es sur un point singulier, les angles sont multipliés par 1+la multiplicité du 0 de df/dz en ce point. par exemple avec la fonction z -> z², df/dz a un zéro de multiplicité 1 en 0 : les angles en 0 sont multipliés par 2. du coup une courbe qui passe par 0 (angle ;)) va faire un demi-tour (2;)) après avoir appliqué f)
Et ce n'est pas forcément le cas quand on suppose seulement que f est dérivable par rapport aux variables réelles Re z et Im z
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