Exo géométrie seconde

par **fandreoni** » 14 Fév 2013, 11:34

Bonjour, j'ai un exercice que je ne comprends pas trop
Voici l'énoncé :
Soient un parallélogramme direct ABCD
M le pt défini par vectBM= 3/4 vectBD
P le symétrique de C par rapport à M
E le projeté de P sur (AB) parallèlement à (AD)
F le projeté de P sur (AD) parallèlement à (AB)

1) montrer que les points E,F et M sont alignés

Pour le schéma pas de problème, ces pts sont bien alignés mais comment le démontrer sans repère ?
Merci de me mettre sur la voie

par **Pixis** » 14 Fév 2013, 12:35

Bonjour,

On peut montrer que trois points A, B et C dont alignés si on montre que les vecteurs AB et BC sont colinéaires.
En effet, si deux vecteurs EF et GH sont colinéaires, alors les droites (EF) et (GH) sont parallèles.

Donc si on montre que les vecteurs AB et BC sont colinéaires, alors les droites (AB) et (BC) seront parallèles, et comme B appartient aux deux droites, alors elles sont confondues.

par **fandreoni** » 14 Fév 2013, 12:40

Mais comment montrer que ces vecteurs sont colinéaires si on ne travaille pas dans un repère ?

par **Pixis** » 14 Fév 2013, 12:47

Il n'y a pas besoin de repère. Il faut exprimer les vecteurs les uns en fonction des autres, en utilisant notamment la relation de Chasles.

par **chan79** » 14 Fév 2013, 12:52

fandreoni a écrit:Bonjour, j'ai un exercice que je ne comprends pas trop
Voici l'énoncé :
Soient un parallélogramme direct ABCD
M le pt défini par vectBM= 3/4 vectBD
P le symétrique de C par rapport à M
E le projeté de P sur (AB) parallèlement à (AD)
F le projeté de P sur (AD) parallèlement à (AB)

1) montrer que les points E,F et M sont alignés

Pour le schéma pas de problème, ces pts sont bien alignés mais comment le démontrer sans repère ?
Merci de me mettre sur la voie

Salut
M est le milieu de [OD], si on nomme O le point d'intersection des diagonales du parallélogramme ABCD.
Montre que

(en fait, ils sont tous les deux égaux au double de

.
Tu peux en déduire que F est le milieu de [AD] et tout devient simple.

par **fandreoni** » 14 Fév 2013, 13:38

pas aussi simple pour moi malheureusement !!!
je dois d'abord prouver que AODP est un parallélogramme ?

par **chan79** » 14 Fév 2013, 14:16

fandreoni a écrit:pas aussi simple pour moi malheureusement !!!
je dois d'abord prouver que AODP est un parallélogramme ?

Tu peux faire comme ça, puisque les diagonales ont le même milieu.

par **chan79** » 14 Fév 2013, 14:23

fandreoni a écrit:pas aussi simple pour moi malheureusement !!!
je dois d'abord prouver que AODP est un parallélogramme ?

POCD est un parallélogramme (diagonales de même milieu)
(PO) est parallèle à (DC) et (AB) donc (PO) coupe (AD) en F.
Dans le triangle ACD, (PO) est parallèle à (DC) et O milieu de [AC] donc F milieu de [AD]
PAOD est un parallélogramme car

=

et

=

et F est aussi le milieu de [PO].
Montre que (EF) et (FM) sont toutes les deux parallèles à (AO)

On peut aussi exprimer les différents vecteurs en fonction de

et

en utilisant la relation de Chasles.
On doit aboutir à

par **fandreoni** » 14 Fév 2013, 15:49

C'est déjà plus clair merci !
Voilà ce qui en ressort :
ds PODC, M milieu de la diagonale OD et F milieu de PO donc F et M sont alignés
Par la construction on sait que (PF) // (AB) donc (PF) // (EA)
et (EP) // (AD) donc (EP) // (AF). Donc EAFP est un parallélogramme et EF une diagonale
J'en déduis que E et F sont alignés, Donc E, F et M sont alignés

Mais j'ai un doute car je n'arrive pas au résultat en démontrant que (EF) et (FM) sont // à (AO) ...

par **chan79** » 14 Fév 2013, 16:24

fandreoni a écrit:

J'en déduis que E et F sont alignés,
Mais j'ai un doute car je n'arrive pas au résultat en démontrant que (EF) et (FM) sont // à (AO) ...

Deux points sont toujours alignés ...
Je reprends
POCD est un parallélogramme car ses diagonales ont le même milieu M.
(PO) est donc parallèle à (DC) (et à (AB) )
D'après la définition de F, (PO) coupe (DA) en F.
Ensuite \vec{AO}=\vec{OC}=\vec{PD}
donc PAOD est un parallélogramme et le point F est donc le milieu de [PO] et [AD].
Je te laisse finir

par **fandreoni** » 14 Fév 2013, 16:43

En effet, je me rends compte de l'énormité de ce que je viens de dire !!!
Est ce que pour la suite je doit parler du quadrilatère EAPF car ce pt E me pose problème
(c'est laborieux moi et la géométrie !!)

par **chan79** » 14 Fév 2013, 16:52

fandreoni a écrit:En effet, je me rends compte de l'énormité de ce que je viens de dire !!!
Est ce que pour la suite je doit parler du quadrilatère EAPF car ce pt E me pose problème
(c'est laborieux moi et la géométrie !!)

EAFP (attention à l'ordre des lettres) est un parallélogramme donc

=

car F milieu de [PO]
donc

=

et EAOF est un parallélogramme donc (EF) // (AO)
vois pourquoi (FM) est aussi parallèle à (AO).

par **fandreoni** » 14 Fév 2013, 18:10

on a vu que le pt F était le milieu de PO et M pt d'intersection des diagonales de POCD
Le pt F est aussi une médiane de POCD donc (FM) // (OC) et (FM) // (AO)
et si (EF) // (AO) et (FM) // (AO) on peut en déduire que E, F et M sont alignés

par **chan79** » 14 Fév 2013, 22:45

fandreoni a écrit:on a vu que le pt F était le milieu de PO et M pt d'intersection des diagonales de POCD
Le pt F est aussi une médiane de POCD donc (FM) // (OC) et (FM) // (AO)
et si (EF) // (AO) et (FM) // (AO) on peut en déduire que E, F et M sont alignés

Je pense que tu dois reprendre tout ça calmement
le point F ne peut pas être une médiane

Exo géométrie seconde

Exo géométrie seconde

Qui est en ligne