Vecteurs aléatoires, matrice de rang 1

par **marievlan** » 11 Fév 2013, 19:04

Bonjour, j'ai un résultat à démontrer. Dans un sens, je pense avoir trouvé le résultat, mais dans l'autre, j'ai quelques difficultés...Donc si quelqu'un a une idée....

Soient X et Y deux vecteurs aléatoires ayant un nombre fini de valeurs.
X {

} et Y {

}.

Montrer que X et Y sont indépendants si et seulement si la matrice de taille

définie par

est de rang 1.

Merci pour votre aide !

par **Doraki** » 11 Fév 2013, 19:31

c'est dans quel sens que tu n'y arrives pas ?

par **lefokisetouf** » 12 Fév 2013, 17:30

Bonjour,

Nous sommes dans la même classe et c'est la réciproque que nous ne parvenons pas à démontrer...

par **Doraki** » 12 Fév 2013, 19:39

Donc tu supposes que la matrice P(X = xi, Y = yj) est de rang 1,
et tu cherches à montrer qu'il existe p+q réels P(X=xi), P(Y = yj) tels que P(X = xi, Y = yj) = P(X=xi)*P(Y=yj).

Tout d'abord, comme peut-on "lire" les valeurs de P(X=xi) et de P(Y=yj) sur ta matrice ?

par **lefokisetouf** » 12 Fév 2013, 20:54

Euh... bonne question ...
C'est là tout le problème : on ne voit pas comment faire "ressortir" les P(X=xi) et P(Y=yj) alors qu'il n'y a que des P(X=xi,Y=yj)...

par **marievlan** » 13 Fév 2013, 12:48

En sommant les valeurs sur une ligne de la matrice, on obtient [TEX]\mathbb{P}(X=x_i)[\TEX] et en sommant les valeurs des colonnes, on obtient [TEX]\mathbb{P}(Y=y_i)[\TEX]. C'est ça non ?
Mais après comment en déduire ce qu'on veut ?

par **marievlan** » 13 Fév 2013, 12:48

En sommant les valeurs sur une ligne de la matrice, on obtient

et en sommant les valeurs des colonnes, on obtient

. C'est ça non ?
Mais après comment en déduire ce qu'on veut ?

par **hamza-Topo** » 13 Fév 2013, 13:24

C'est là tout le problème : on ne voit pas comment faire "ressortir" les P(X=xi) et P(Y=yj) alors qu'il n'y a que des P(X=xi,Y=yj)...

par **Doraki** » 13 Fév 2013, 15:13

marievlan a écrit:En sommant les valeurs sur une ligne de la matrice, on obtient et en sommant les valeurs des colonnes, on obtient . C'est ça non ?
Mais après comment en déduire ce qu'on veut ?

Oui.

Que peux-tu dire des vecteurs colonnes de la matrice et de la colonne (P(X=xi)) (qui est donc la somme des vecteurs colonnes de la matrice) ?

par **marievlan** » 13 Fév 2013, 16:55

Doraki a écrit:Oui.

Que peux-tu dire des vecteurs colonnes de la matrice et de la colonne (P(X=xi)) (qui est donc la somme des vecteurs colonnes de la matrice) ?

Oui, j'ai remarqué que les colonnes (et les lignes) sont linéairement dépendantes. Il existe donc un vecteur

tel que toutes les colonnes

peuvent s'exprimer comme

On utilise le fait que les lignes sont lin. dépendantes aussi.

On obtient donc :

où k est un scalaire.

De même, on a :

où l est un scalaire.

Mais je n'arrive pas à conclure !!!!

par **Doraki** » 13 Fév 2013, 22:19

Et le vecteur colonne (P(Xi)) comparé aux autres vecteurs colonnes ?

A un moment tu auras besoin de dire que la somme de toutes les probabilités dans la matrice vaut 1.

Vecteurs aléatoires, matrice de rang 1

Vecteurs aléatoires, matrice de rang 1

voilà

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