Isomorphisme avec Z/nZ

par **MC91** » 10 Fév 2013, 19:33

Bonsoir,

J'aurai aimé qu'on m'explique cette affirmation :
G est isomorphe à Z/nZ, H est isomorphe à Z/mZ, donc G X H est isomorphe à Z/nZ X Z/mZ.

Car j'ai un peu de mal à voir pourquoi c'est vrai.

Merci d'avance de votre aide.

par **Nightmare** » 10 Fév 2013, 19:42

Salut,

ne vois-tu pas un isomorphisme naturel entre les deux?

par **barbu23** » 10 Fév 2013, 19:45

Bonjour,

Si

est le premier isomorphisme, et

est le second isomorphisme, alors, il suffit de justifier pourquoi :

telle que :

est un isomorphisme.

Cordialement. :happy3:

par **MC91** » 10 Fév 2013, 19:56

Nightmare a écrit:Salut,

ne vois-tu pas un isomorphisme naturel entre les deux?

Hum ... Je vois déjà que G X H et Z/nZ X Z/mZ ont le même ordre, ce qui est une condition nécessaire pour avoir un isomorphisme...

Si G est isomorphe à Z/nZ, cela veut dire que si a;)G, alors l'isomorphisme en question va associer a à la classe d'equivalence de a?
Donc si b;)H, l'isomorphisme de G X H et Z/nZ X Z/mZ associe (a,b) à (Cl(a), Cl(b)) ??

par **barbu23** » 10 Fév 2013, 20:11

Ma réponse ne te plait pas ?

par **MC91** » 10 Fév 2013, 20:16

barbu23 a écrit:Ma réponse ne te plait pas ?

Ah désolé ! Je viens juste de voir ta réponse, je n'avais vu que celle de Nightmare.
Par contre je ne vois pas du tout comment justifier que f,g est un isomorphisme...

par **barbu23** » 10 Fév 2013, 20:22

MC91 a écrit:Ah désolé ! Je viens juste de voir ta réponse, je n'avais vu que celle de Nightmare.
Par contre je ne vois pas du tout comment justifier que f,g est un isomorphisme...

est isomorphe à

, ça veut dire, par définition, qu'il existe un isomorphisme

.

par **MC91** » 10 Fév 2013, 20:36

D'accord. Mais je n'arrive pas à voir pourquoi

telle que :

est un isomorphisme...

par **Nightmare** » 10 Fév 2013, 20:37

As-tu essayé de montrer que ça vérifie la définition d'un isomorphisme?

par **barbu23** » 10 Fév 2013, 20:45

Il faut aussi, comprendre que la loi de composition interne d'un produit de groupes quelconques

est celle qui vérifie, par définition :

:

.

par **MC91** » 10 Fév 2013, 21:08

barbu23 a écrit:Il faut aussi, comprendre que la loi de composition interne d'un produit de groupes quelconques est celle qui vérifie, par définition : : .

Je crois que j'ai compris, en vérifiant la définition d'un morphisme bijectif entre les deux groupes comme l'a dit Nightmare, ça marche bien.

Par contre, je n'ai pas trop compris ce que tu as dit Barbu, car pour moi

est un groupe pour la loi de composition interne +, et pas X.

par **barbu23** » 10 Fév 2013, 21:13

Oui, tu as raison @MC1. :happy3:
Moi, je parle de loi quelconque, que je note multiplicativement, c'est à dire, en toute généralité. :happy3:

par **MC91** » 10 Fév 2013, 21:35

barbu23 a écrit:Oui, tu as raison @MC1. :happy3:
Moi, je parle de loi quelconque, que je note multiplicativement, c'est à dire, en toute généralité. :happy3:

D'accord, me voilà rassurée :lol3:

Merci beaucoup à toi et à Nightmare pour le temps que vous m'avez consacré. C'est plus clair maintenant !

A bientôt !
Bonne soirée.

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