PGCD et PPCM avec plus de deux nombres

par **MagicxSweet** » 07 Fév 2013, 16:03

Bonjour,

Comment procéder lorsque l'on a à faire à plus de deux nombres pour calculer un PGCD et un PPCM?
Pour le PGCD j'utilise surtout la méthode Euclidienne et le PPCM la méthode où on calcule d'abord le PGCD et ensuite le PPCM.

Merci d'avance!

par **annick** » 07 Fév 2013, 17:00

Re bonjour,
pour moi, dans les deux cas je décompose en facteurs premiers.
Pour le PGCD, je prends les facteurs communs à leur plus petite puissance.
Pour le PPCM, je prends tous les facteurs à leur plus grande puissance.

Exemples :

360=(2^3)(3²)(5)
700=(2²)(5²)(7)

Le PGCD est 2²x5=20
Le PPCM est (2^3)(3²)(5²)(7)=12600

Et tu peux faire ça avec autant de nombres que tu veux.

par **jlb** » 07 Fév 2013, 17:09

MagicxSweet a écrit:Bonjour,

Comment procéder lorsque l'on a à faire à plus de deux nombres pour calculer un PGCD et un PPCM?
Pour le PGCD j'utilise surtout la méthode Euclidienne et le PPCM la méthode où on calcule d'abord le PGCD et ensuite le PPCM.

Merci d'avance!

c'est une propriété du pgcd et du ppcm: tu commences par le pgcd de tes deux premiers nombres puis tu cherches le pgcd entre ton résultat et le nombre qui te reste ( et ainsi de suite)

par **nodjim** » 07 Fév 2013, 19:00

Annick: la décomposition n'est pas toujours facile, surtout pour les grands nombres. Je ferais donc comme jlb, méthode qui s'applique pour autant de nombres qu'on veut.

par **annick** » 07 Fév 2013, 19:08

Oui, je suis d'accord, la méthode est plus astucieuse. Mais j'avais exprimé la première qui me venait à l'esprit. :lol3:

par **MagicxSweet** » 07 Fév 2013, 20:33

Merci pour votre aide!
Je m'entraînerai sur ça :lol3:

par **MagicxSweet** » 07 Fév 2013, 22:11

J'ai essayé de m'entraîner avec un exercice mais je n'y arrive pas..

"Trois enfants tapent sur un tambourin. Le premier tape toutes les 2 min, le second toutes les 80 s, le troisième toutes les 2 min 40 s.
Ils tapent pour la première fois tous ensemble, au bout de combien de temps taperont t-ils de nouveau ensemble?"

J'ai fais :

1er enfant : 2 min = 120 s
2nd enfant : 80s
3è enfant : 2 min 40 s = 160 s

120/80 = (reste : 40 quotient : 1) 80/40 = (r : 0 q : 2)

Puis, j'ai essayé de faire intervenir la troisième donnée comme ceci :

160/40 = ( r : 0 q : 4)

Je ne peux donc pas aller plus loin..déjà parce que je me retrouve toujours avec 40..
Ensuite, je veux trouver le PPCM (en utilisant la méthode pour trouver PGCD, et multiplier le produit des nombres par leur PGCD), mais faut-il multiplier les trois données entre elles? Car j'ai essayé pour ensuite les diviser par 40 donc et ça me donne un nombre énorme.. : (120x80x160)/40 = 38400

Je pense m'être trompée quelque part mais où..?

par **annick** » 07 Fév 2013, 23:00

Bon, pour le PGCD, effectivement ça marche.
Pour le PPCM, je suis passée par ma "vieille" méthode de décomposition en facteurs premiers et je trouve 480.
Je regarde s'il y a une autre façon d'envisager le PPCM.

par **annick** » 07 Fév 2013, 23:49

Bon, je viens de trouver.
Tu cherches le PGCD entre tes deux premiers nombres, puis le PPCM.
Tu cherches les PGCD entre ton dernier nombre et le premier PGCD, puis tu cherches le PPCM qui va avec.
Tu prends tes deux PPCM, tu cherches leur PGCD, puis leur PPCM et ça doit donner le bon résultat.

Reprise des calculs
PGCD(120,80)=40 PPCM(120,80)=240
PGCD(40,160)=40 PPCM(40,160)=160
PGCD(240,160)=80 PPCM(240,160)=480 et c'est le PPCM de tes 3 nombres.(c'est bien le résultat que je trouvais par décomposition)

par **MagicxSweet** » 08 Fév 2013, 08:48

Un grand merci pour cette réponse si bien expliquée!
Le résultat sur le livre est bien 480

Merci encore d'avoir pris du temps pour m'aider et bonne journée!

PGCD et PPCM avec plus de deux nombres

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