Probabilités.

[Odessa]

Bonjour.

Voilà, j'ai un exercice à faire, j'ai réussi toutes les questions sauf la dernière : la 2.b). Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?.

Un sac contient 1 jeton rouge, 3 jetons blancs et n jetons noirs ( n entier supérieur ou égal à 1 ).
Un joueur mis m euros ( m entier supérieur ou égal à 1), puis tire un jeton du sac. S'il tire le jeton rouge, il gagne 10 euros, un jeton blanc, il gagne 5 euros, et ne gagne rien si le jeton tiré est noir.
On note X a variable aléatoire qui prend pour valeur le gain du joueur, c'est à dire la somme gagnée diminuée de sa mise.
1)a) on prend m=1
Combien de jetons noirs n faut-il mettre dans l'urne pour que le jeu soit équitable ?
b) on prend n= 16. Existe-t-il une valeur de m pour que le jeu soit équitable ?
2)a) De façon générale, calculer l'espérance de la variable aléatoire X en fonction de n et m.
b) Comment choisir n et m pour que le jeu soit équitable ?

J'ai trouvé pour :
1a) n=21
1b) m=1.25. il n'y a pas de solutions étant donné que c'est un nombre entier.
2a) E(X)= -m + (25/4n)
2b) ?

Merci beaucoup.
Odessa.

[Black Jack]

OK pour tes réponses 1a et 1b

Ta réponse 2a est forcément fausse, en introduisant par exemple m = 1 dans ta réponse 2a, on devrait retomber sur E(x) = 0 pour n = 21, conformément à ta réponse à la question 1a.
Or ce n'est pas ce qu'on trouve.

*************

Proba de tirer 1 rouge : 1/(4+n)
Proba de tirer 1 blanc : 3/(4+n)
Proba de tirer 1 noir : n/(4+n)

P(X=-m) = n/(4+n)
P(X=5-m) = 3/(4+n)
P(X=10-m) = 1/(4+n)

E(X) = -m*n/(4+n) + (5-m)*3/(4+n) + (10-m)*1/(4+n)
E(X) = [-m*n + (5-m)*3 + (10-m)]/(4+n)
E(X) = (-m*n + 15 - 3m + 10-m)/(4+n)
E(X) = (25 - 4m - m*n)/(4+n)

c'est la réponse à la question 2a

Pour la 2b, il faut que E(X) = 0, donc ...

:zen: