Formes quadratiques définies positives.
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Deluxor
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par Deluxor » 03 Fév 2013, 14:27
Bonjour à tous,
J'ai une question de méthode. L'exercice est tout ce qu'il y a de plus banal et de plus typique, mais je ne sais quelle méthode adopter.
Dire si ces deux formes quadratiques sur
sont définies positives.
 \, = \, x_1^2 \, + \, 2 \, x_2^2 \, + \, 3 \, x_1 \, x_2)
 \, = \, 2 \, x_1^2 \, + \, 3 \, x_2^2 \, + \, 4 \, x_1 \, x_2)
Q est définie positive si et seulement si
 \, \Rightarrow \, Q(x) > 0)
si et seulement si
 \geq 0 \\ Q(x)=0 \, \Rightarrow \, x \, = \,(0,0) \end{cases})
Je vous remercie,
Deluxor
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Joker62
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par Joker62 » 03 Fév 2013, 14:40
Hello !
T'as essayé quelques valeurs de x pour Q_1 ?
Genre x = (1,-1) ?
Pour Q_2, faudrait penser à écrire la forme quadratique comme somme de deux carrés.
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Deluxor
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par Deluxor » 03 Fév 2013, 14:51
Salut
Joker62,
Comme
 = 0)
, alors
n'est pas définie positive. Ca suffit comme justification, non?
Pour
, est-ce juste?
La matrice de sa forme bilinéaire symétrique associée est :
)
)
On cherche les valeurs propres
:
et
Donc
est définie positive.
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wserdx
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par wserdx » 03 Fév 2013, 15:01
Comme ces cas ne sont pas trop compliqués, on peut aussi rechercher les sommes (ou différences) de carrés:
^2 - \frac{1}{4} x_2^2)
^2 + x_2^2)
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