Convergence de cet intégrale.

par **Anonyme** » 03 Fév 2013, 01:20

Bonsoir,

J'aurais aimé savoir si ma méthode est bonne sur cet exo, on me demande de dire si cet intégrale converge ou pas :

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Je trouve que ça diverge, pour arriver à ce résultat j'ai dis que la convergence/divergence de cette intégrale était "la même" que celle ci :

(Après encadrement de la fonction valeur entière..)

Est-ce bien correct ?

Merci d'avance.

par **Le_chat** » 03 Fév 2013, 01:39

Ben entre 0 et 1, ça fait combien la partie entière de x?

par **Anonyme** » 03 Fév 2013, 01:42

1 si je ne m'abuse.. :) ?

par **Anonyme** » 03 Fév 2013, 01:44

Ah donc simplement du fait que j'ai 1/0.. ?

par **Anonyme** » 03 Fév 2013, 02:13

Non désolé, mais je ne vois pas le rapport avec les valeurs de [x] entre 0 et 1.. Puisque là on parle de l'intégrale de cette fonction donc ça n'aide pas vraiment il me semble..

Merci d'avance.

par **Le_chat** » 03 Fév 2013, 02:29

La partie entière d'un réel est le plus grand entier qui lui est inférieur. Donc entre 0 et 1, ça fait 0, et ton intégrale c'est lintégrale de la fonction constante égale à 1, donc ça converge.

par **Anonyme** » 03 Fév 2013, 02:49

Arf, désolé le chat, mais je ne suis pas d'accord..

Encore une fois c'est l'intégrale de 1/1-[x], je ne saisis pas pourquoi tu parle de valeur de x comprise entre 0 et 1. Je suis d'accord qu'on intègre entre 0 et 1, mais dans ce cas là, il faudrait primitiver pour dire ce que tu dis.. Je pense qu'il y a une erreur de raisonnement là.. Si c'est moi qui me trompe je m'en excuse, mais d'après wolfram, il semble bien que l'intégrale diverge :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%281%2F%281-ceiling%28x%29%29%29+0+to+1

Merci d'avance.

par **nodjim** » 03 Fév 2013, 08:15

Moi je vois tout de même un problème de domaine de définition dans la fonction
f(x)= 1/(1-entx) car pour x=1, la fonction n'est pas définie.

par **Le_chat** » 03 Fév 2013, 11:34

Ça dépend de ce que tu appelles partie entière alors. Si tu prends la fonction ceiling dans wolfram, c'est la partie entière supérieure, alors qu'on dit couramment partie entière pour parler de la partie entière inférieure.

Si tu parles de la partie entière supérieure alors oui ce n'est pas intégrable vu que ce que tu essayes dintégrer n'a pas de sens!

En revanche si c'est la partie entière inférieure, c'est lintégrale de la fonction x->1 sur [0,1[, donc ça fait bien 1.

Et je ne pense pas qu'il y ait de problème en 1, pour intégrer une fonction sur un segment on ne se préoccupe pas de la valeur aux bornes.

par **nodjim** » 03 Fév 2013, 11:53

J'étais presqu'en train d'écrire qu'effectivement, ça ne changeait pas grand chose d'inclure ou pas la valeur 1 dans l'intégrale, mais la surface en 1, c'est bien 0*(1/0), bien compliqué de dire que ça ne compte pas....

par **Le_chat** » 03 Fév 2013, 12:04

C'est comme si on parlait de lintégrale de 1/sqrt(x) entre 0 et 1, en 0 ça diverge mais lintégrale converge quand même... Le truc important c'est que lintégrale d'une fonction entre deux bornes, c'est l'intégrale de la fonction sur l'intervalle ouvert.

par **nodjim** » 03 Fév 2013, 12:14

Bon OK, c'est une question convention, je vois.

par **Le_chat** » 03 Fév 2013, 12:22

Pas vraiment, c'est juste que si on parle de lintégrale entre a et b d'une fonction f et que f n'est pas définie en b par exemple, ben on a pas d'autre choix que de dire que l'intégrale en question c'est l'intégrale sur [a,b[.

par **nodjim** » 03 Fév 2013, 12:35

Ma Terminale C est très ancienne, mais une fois qu'on avait calculé la primitive F, l'intégrale valait F(b)-F(a). ça explique ma réserve dans ce cas précis.
Et puis on nous demandait de justifier: "l'intégrale existe car la fonction est continue dans l'intervalle".

par **Anonyme** » 03 Fév 2013, 13:20

Hum je vois je vois.

J'avoue que l'exo étant simplement donné comme ça sans autre indication, je ne sais pas si ceiling est adapté..

Je crois avoir saisi la nuance.

Merci à tous les deux pour vos réponses !! :)

par **jlb** » 03 Fév 2013, 13:22

Le_chat a écrit:C'est comme si on parlait de lintégrale de 1/sqrt(x) entre 0 et 1, en 0 ça diverge mais lintégrale converge quand même... Le truc important c'est que lintégrale d'une fonction entre deux bornes, c'est l'intégrale de la fonction sur l'intervalle ouvert.

bonjour, attention ton argument ne me semble pas correct (x---> 1/x² diverge en 0 et son intégrale n'est pas convergente) après c'est à vérifier!!

par **Le_chat** » 03 Fév 2013, 14:09

De quoi mon argument ne semble pas correct? Je dis juste que ce n'est pas parce que la fonction n'est pas définie en 1 que son intégrale sur [0,1[ n'a pas de sens.

par **jlb** » 03 Fév 2013, 15:33

Le_chat a écrit:De quoi mon argument ne semble pas correct? Je dis juste que ce n'est pas parce que la fonction n'est pas définie en 1 que son intégrale sur [0,1[ n'a pas de sens.

ah vrai dire, le fil de la conversation m'a laissé penser que tout allait de soi. La fonction n'est pas bornée donc on parle d' une intégrale généralisée, il faut étudier ce qui se passe en 1, ce que vous avez parfaitement justifié et bien expliqué.

je relevais seulement qu'il y a un boulot de vérication pour justifier ou non la convergence, à travers l'exemple de x-->1/x²

bonne journée

Convergence de cet intégrale.

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