Le raisonnement par récurrence

[macroscopique]

Bonsoir , voilà je bloque dans un exo:
" Prouver que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, si on plae n points dans le plan , on peut tracer exactement (n(n-1)/2) segments distincts." apparemment ilk faut faire un raisonnement par la récurrence mais je n'arrive pas à trouver.
merci d'avance.

[Nightmare]

Salut !

Bon déjà, j'espère que tu as pu vérifié que c'était bon pour 2 points !

Supposons qu'on peut tracer exactement n(n-1)/2 segments pour n points, il faut montrer qu'on peut en construire (n+1)n/2 avec n+1 points.

Considérons donc n+1 points. Ce n'est rien d'autre que n points plus un dernier. On sait que pour les n premiers on peut construire n(n-1)/2 segments, il reste ceux qu'on peut construire avec le dernier point. Combien il y en a-t-il ? Conclus.

[Ericovitchi]

Et bien il faut utiliser les fondement du raisonnement par récurrence.

Vérifies que l'hypothèse est vraie pour 3 (effectivement par 3 point on dessine 3 segments et c'est bien 3(3-1)/2

Supposes que c'est vrai pour n et vérifies que c'est encore vrai pour n+1

Donc tu as n points de dessiné et tu sais qu'il y a n(n-1)/2 traits sur la figure.
Tu rajoutes un point, combien ça ajoute de segments ?

EDIT : ha Nightmare tu es plus rapide que d'habitude ;+)

[Nightmare]

Oui, j'étais fatigué ces derniers temps c'est pour ça :lol:

[macroscopique]

merci beaucoup à vous deux !

[macroscopique]

juste pour savoir il faut trouver (n2 + n)/2 non? et après? :mur:

[Nightmare]

Bah, c'est tout, le raisonnement par récurrence est terminé, on a prouvé la propriété !

[macroscopique]

oui mais j'ai trouvé un + et non pas un moins comme dans la prpriété initiale...

[Nightmare]

Il faut trouver n(n+1)/2 non? C'est bien ce que tu as trouvé !

[beagle]

Il faut trouver n(n+1)/2 non? C'est bien ce que tu as trouvé !

il fallait trouver (n+1)(n+1-1)/2, donc ouais c'est très proche. :we:
je ne connaissais pas la récurrence, cela s'enseigne à partir de quelle classe?
Confirmation si j'ai bien compris:
si c'est faux pour n, alors cela sera faux pour n+1 aussi, mème si on trouve pareil,
d'où la nécessicité d'avoir également un n qui déjà valide le truc,
Nigntmare proposait vérif avec le 2
et Ericovitchi faisait vérif avec 3
C'est cela la base?

sans récurrence c'était rapide aussi,
pour tout n, il y aura n-1 segments,
en tout il y aura n fois n-1,
sauf que l'on compte deux fois chaque segment AB et BA,
donc n(n+1)/2

[Nightmare]

La récurrence s'enseigne dès la première me semble-t-il (ça a peut être changé).

Pour valider la récurrence il faut déjà que ça marche pour le premier terme (sinon tout le principe de récurrence tombe à l'eau).

Ici on nous demandait de montrer que la propriété était vrai pour n supérieur ou égal à 2 d'où le fait qu'on initialise la récurrence à 2 (Ericovitchi a dû croire que n était strictement supérieur à 2)

[beagle]

Le lycée est loin pour moi,
"de mon temps" je n'avais pas étudié ce mode de démonstration.
Au début cela m'a surpris, il me semblait que cela ne démontrait rien.
(cela pouvait ètre faux pour n, et pour n+1 aussi)
Jusqu'au moment où j'ai saisi la nuance de la vérification sur un élément.
Merci de préciser qu'en fait c'est mème le premier élément qu'il faut vérifier.

L'exercice sus-jaccent est un exo d'entrainement pour ce mode de démonstration, puisqu'on peut faire facilement autrement,
mais j'ai vu (je me doutais) l'intérèt lors de l'exo de mimi38.
Merci de tes précisions Nightmare.

[adilbous]

voir ces supers cours en vidéos sur le raisonnement par récurrence. Il y'a même des exos corrigés en détails et en vidéos. www.kiffelesmaths.com