Exponentielle et suite

[zikette11]

Bonjour,
j'ai un exercice en dm à faire sauf que je suis bloquée à la dernière partie. Je vous mets ce que j'ai trouvé pour les parties précédentes.

Partie A
g définie sur [0 ; +inf[ par g(x) = e^x - x -1
1] g est croissante.
2] g(x) supérieure ou égale à 0.
3] J'ai du prouver que pour tout x de [o ; +inf[ (e^x -x) > 0
+ pour tout x de [0,5 ; 1] 0,5 </= 1/(e^x-x) =/< 9/10

Partie B
f définie sur I = [o ; 1] par f(x) = (e^x-1)/(e^x-x)
1] j'ai démontré que pour tout x de I, f'(x) = h(x) / (e^x-x)²
et j'ai déterminé h : h(x) = (2-x)e^x -1
- j'ai étudié les variations de h : strictement croissante. J'en ai déduis celles de f : strictement croissante
- j'ai démontré que pour tout x de I, f(x) appartient à I.
2] On note le droite delta y=x
- j'ai démontré que pour tout x de I, f(x)-x = [(1-x)g(x)] / (e^x-x)
- j'en ai déduis la position de la courbe de f par rapport à delta sur I : toujours au dessus et confondue pour x=0.

Partie C (là où je bloque à la question 2)
On considère la suite Un tel que U0 = 0,5 et Un+1 = f(Un)
1] j'ai du reproduire la figure comprenant f(x) et la droite delta + construire les 1er termes de la suite sur l'axe des abscisses. J'ai pu faire une conjecture de la suite : converge vers 1
2] Démontrer que pour tout n de N :
- 0,5 <= Un <= Un+1 <= 1
- Un -1 <= (9/10)^n (U0-1)
3] La suite Un est elle convergente ? Le résultat est-il conforme à votre conjecture ?

Je vous remercie d'avance.

[XENSECP]

Hello,

Par récurrence pour ta C-2) ?

[zikette11]

Oui apparemment il faut que je fasse par récurrence.

[XENSECP]

Tu as du faire un tableau de variations pour f donc tu connais ses bornes non ?

[zikette11]

Oui 0 et 1

[XENSECP]

CQFD alors ?

[zikette11]

CQFD ? pas compris ..

[raph107]

CQFD ? pas compris ..

Ce Qu'il Fallait Démontrer

[zikette11]

Ce Qu'il Fallait Démontrer

Ah d'accord. Oui je me doutais que j'allais me servir de ça mais par récurrence je vois pas quoi faire car même sans la réc ça parait évident que 0,5<Un<Un+1<1 rien qu'avec les bornes..

[XENSECP]

Donc la suite maintenant?

[zikette11]

Oui.. "pour tout x de [0,5 ; 1] 0,5
et je pense que la récurrence serait peut être pour la deuxième inégalité..

[XENSECP]

Je comprends pas. On en est où ?

[zikette11]

démontrer que : 0,5 <= Un <= Un+1 <= 1

[XENSECP]

[quote="zikette11"]démontrer que : 0,5 = Un (f croissante...) et surtout que 0.5 <= f(Un) = Un+1 <= 1...

[adilbous]

je te conseille d'aller faire un tour sur un super site kiffelesmaths.com ou tout est expliqué en détails en vidéos. Tu m'en diras des nouvelles...