Les erreurs se combinent quadratiquement (sic)

[leon1789]

Voici un résultat très connu (http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale#Stabilit.C3.A9s_et_famille_normale), qui aidera (je l'espère) Dlzlogic à comprendre que son refrain "Les erreurs se combinent quadratiquement" est la conclusion précise d'un théorème avec des hypothèses précises.

Soit des variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi normale, respectivement de moyennes (=espérances) et de variances .
Alors la variable "somme" suit la loi normale de moyenne et de variance

On voit bien que le théorème est valide dans un cadre probabiliste très précis, et même restreint : on y parle de loi normale (et non d'une loi quelconque), on y parle de variables aléatoires indépendantes, dont on fait la somme (ce qui n'est pas une opération quelconque).

Exemple d'application
Imaginons un champ rectangulaire dont on veut estimer le périmètre. Pour cela on mesure les quatre cotés. On suppose que le système de mesure suit une loi normale, précisément de moyenne et de variance pour les grands cotés, et de moyenne et de variance pour les petits cotés.
Alors l'estimation du périmètre (consistant simplement à ajouter les quatre longueurs mesurées) suit la loi normale de moyenne et de variance .

Contre-Exemple d'application
On reprend le même champs avec les mêmes mesures suivant les mêmes lois. Mais cette fois, on veut estimer la surface du champ. Alors l'estimation naturelle de la surface (consistant à multiplier la longueur d'un grand coté par la longueur d'un petit coté) a bien pour moyenne , mais elle ne suit pas la loi normale et sa variance est .
Noter que le théorème ne s'applique pas puisqu'on n'additionne pas les mesures mais qu'on les multiplie.

Contre-Exemple d'application
On revient sur l'estimation du périmètre. Mais cette fois, on est économe et on décide, pour estimer le périmètre, de ne mesurer qu'un seul grand coté et qu'un seul petit coté, de les additionner et de multiplier par 2 cette somme. Alors l'estimation qui en résulte suit effectivement une loi normale, de moyenne , mais de variance !
Noter que, si on veut comparer cette méthode à celle du premier exemple, les mesures des cotés opposés ne sont pas indépendantes puisqu'on les a assimilées à la même variable (pour des raisons d'économie)...

[ffpower]

Eh ben t'en démords pas toi.. :ptdr:

[leon1789]

Deux jours de discussion en MP avec Dlzilllogic et finalement... rien, rien de rien. :triste: Trop con je suis de croire à des choses.