Densité, distance d'un vecteur à un espace vectoriel

[Wenneguen]

Bonjour,

est-ce que si E et F sont deux espaces vectoriels tels que F est dense dans E, alors pour tout vecteur x de F, la distance de x à E vaut 0 ?

Autre question : pourriez-vous me donner une base de l'ensemble des suites qui sont nulles à partir d'un certain rang ?

Merci :we:

[Le_chat]

Bonjour,

est-ce que si E et F sont deux espaces vectoriels tels que F est dense dans E, alors pour tout vecteur x de F, la distance de x à E vaut 0 ?

Autre question : pourriez-vous me donner une base de l'ensemble des suites qui sont nulles à partir d'un certain rang ?

Merci :we:

Pour la première question,c'est oui, si tu dis que F dense dans E signifie que l'adhérence de F est exactement E. Parce que alors t'as F inclus dans E, donc chaque élément de F est dans E et donc la distance est nulle.

Peut être que tu voulais dire "pour tout vecteur x de E, la distance de x à F vaut 0"? Auquel cas c'est vrai aussi, vu que x est dans l'adhérence de F si et seulement si sa distance à F est nulle.

Pour l'autre question, tu peux prendre u0=(1,0,0.....), u1=(0,1,0....), u2=(0,0,1,0....) etc.

[patrickjaud]

Bonjour,

est-ce que si E et F sont deux espaces vectoriels tels que F est dense dans E, alors pour tout vecteur x de F, la distance de x à E vaut 0 ?

Autre question : pourriez-vous me donner une base de l'ensemble des suites qui sont nulles à partir d'un certain rang ?

Merci :we:

Bonjour
bizarre ta question .... F est dense dans E donc F est inclus dans E d(x,E) = inf {d(x,y) / y appartenant E} cela vaut 0 et la borne inférieure est atteinte pour y=x
la question suivante "si E et F sont deux espaces vectoriels tels que F est dense dans E, alors pour tout vecteur x de E, la distance de x à F vaut 0 " me parait plus judicieuse ....

pour une base de l'espace vectoriel des suites qui s'annulent au bout d'un certain rang :
à l'instinct, je dirai que ce n'est pas possible de trouver une telle base !
à chercher ....
pour une base finie : c'est clairement impossible

[Wenneguen]

Bonjour
bizarre ta question .... F est dense dans E donc F est inclus dans E d(x,E) = inf {d(x,y) / y appartenant E} cela vaut 0 et la borne inférieure est atteinte pour y=x
la question suivante "si E et F sont deux espaces vectoriels tels que F est dense dans E, alors pour tout vecteur x de E, la distance de x à F vaut 0 " me parait plus judicieuse ....

pour une base de l'espace vectoriel des suites qui s'annulent au bout d'un certain rang :
à l'instinct, je dirai que ce n'est pas possible de trouver une telle base !
à chercher ....
pour une base finie : c'est clairement impossible

En effet, j'ai un peu intellectuellement merdouillé ! En fait je voulais savoir si une suite qui tend vers 0 est à une distance nulle de l'espace des suites nulles à partir d'un certain rang... J'ai encore un peu de mal, mais la réponse serait donc oui par un argument de densité ?

Sinon pour l'autre question, si on prend la base proposée par Le_Chat, c'est aussi une base de l'espace des suites réelles non ? N'y a-t-il pas un problème dans ce cas ?

[patrickjaud]

@ Le-chat Le problème d'une telle base c'est que tu peux avoir un élément qui n'est pas dans l'espace vectoriel : F des suites qui s'annulent au bout d'un certain rang.
ex : la suite identiquement égale à 1 est la somme (infinie) de tous les éléments de ta base !!
si tu supposes cette base finie, alors il est facile de trouver un élément dans F non obtenu comme combinaison linéaire de ta base.

[patrickjaud]

En effet, j'ai un peu intellectuellement merdouillé ! En fait je voulais savoir si une suite qui tend vers 0 est à une distance nulle de l'espace des suites nulles à partir d'un certain rang... J'ai encore un peu de mal, mais la réponse serait donc oui par un argument de densité ?

Sinon pour l'autre question, si on prend la base proposée par Le_Chat, c'est aussi une base de l'espace des suites réelles non ? N'y a-t-il pas un problème dans ce cas ?

Quelle distance définie tu pour les suites ? c'est là que ce n'est pas clair ....

[Le_chat]

Si tu parles de base de Hilbert, ok , mais si tu parles de base au sens usuel, cf wikipedia: http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_(alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire).


Concernant la première question, oui en fait cela revient à montrer la propriété suivante: x est dans l'adhérence de F si et seulement si la distance de x à F est nulle.

[Wenneguen]

Quelle distance définie tu pour les suites ? c'est là que ce n'est pas clair ....

On munit l'espace du produit scalaire " somme des produits deux à deux des termes des deux suites " :lol2:

[Le_chat]

On munit l'espace du produit scalaire " somme des produits deux à deux des termes des deux suites " :lol2:

Ça n'a pas trop de sens à priori sur l'espace des suites quelconques sur R, cette somme peut ne pas converger.

[patrickjaud]

Si tu parles de base de Hilbert, ok , mais si tu parles de base au sens usuel, cf wikipedia: http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_(alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire).


Concernant la première question, oui en fait cela revient à montrer la propriété suivante: x est dans l'adhérence de F si et seulement si la distance de x à F est nulle.

Je ne comprends pas ta réponse ....
une base est une famille génératrice quelque soit l'espace hilbert ou pas !!
le lien que tu m'envoies parle d'un espace de dimension fini qui est loin d'être le cas de l'espace proposé par Wenneguen

[Le_chat]

Je ne comprends pas ta réponse ....
une base est une famille génératrice quelque soit l'espace hilbert ou pas !!
le lien que tu m'envoies parle d'un espace de dimension fini qui est loin d'être le cas de l'espace proposé par Wenneguen

Voir le paragraphe "Définition d'une base", à partir de la 4e ligne.

[Wenneguen]

Ça n'a pas trop de sens à priori sur l'espace des suites quelconques sur R, cette somme peut ne pas converger.

Autant pour moi, on se place dans l'espace des suites réelles dont la série des converge.

[patrickjaud]

En résumé :
E espace métrique
Si F est dense dans E alors quelque x de E d(x,F) = 0

ton ensemble F = "suite qui s'annule au bout d'un certain rang" est dense dans l'ensemble des suites

conclusion si E est l'ensemble de suites, si x est dans E alors d(x,F) = 0 (on définit la distance à l'aide de la norme de ton produit scalaire)

[Le_chat]

Donc ça marche. Tu prends ta suite (xn).


Tu construis une suite de suites à support fini: X_k=(x0,x1,...,xk,0,...).

Alors, (xn)-X_k=(0,...0,x_k+1,....) et donc la norme au carré fait Somme pour i allant de k+1 à l'infini des x_i^2, ce qui est le reste d'un série convergente. Ça tend donc vers 0 si k tend vers l'infini, c'est bien dense.

[patrickjaud]

oui bien sûr mon espace E = "suite dont la somme infinie des converge ...... "
c'est en effet mieux comme ça !!!

[Wenneguen]

ton ensemble F = "suite qui s'annule au bout d'un certain rang" est dense dans l'ensemble des suites

...des suites qui convergent 0, non ?

[Le_chat]

Ca dépend de la norme que tu prends...