Convergence de suite

[Nicolas123]

Bonjour,

Je dois déterminer si la suite suivante converge ou diverge, et, si elle converge, quelle est sa limite.

An = ( 1 + (2/n) )^n où An est le n-ième terme de la série.

La bonne réponse (tout du moins selon mon corrigé) est que la série converge en e^2. (le carré de la constante de Néper)
Au cours de mes vaines tentatives d'aboutir à ce résultat, j'ai suivi la démarche suivante:

lim ( 1 + (2/n) )^n
n -> inf

lim ( (n + 2) /n)^n
n -> inf

lim (n + 2)^n / n^n
n -> inf

lim (n + 2)^n / n^n
n -> inf

J'ai tenté de transformer le numérateur et le dénominateur sous la forme e^x (e^ln(n + 2).n / e^ln(n).n) pour pouvoir utiliser la règle de l'hôpital en dérivant, mais j'ai eu l'impression que je ne faisais que faire gonfler ma formule...
Bref, je bloque. Quelqu'un saurait-il m'aider?

Merci d'avance,
Nicolas

[Black Jack]

Pour le calcul de la limite :

f(n) = (1 + 2/n)^n

ln(f(n)) = n.ln(1 + 2/n)

ln(f(n)) = (ln(1 + 2/n))/(1/n)

lim(n--> oo) [(ln(1 + 2/n))/(1/n)] est de la forme 0/0 --> Lhospital.

lim(n--> oo) [ln(1 + 2/n)/(1/n)] = lim(n--> oo) [((-2/n²)/(1 + 2/n))/(-1/n²)] = lim(n--> oo) [2/(1 + 2/n)] = 2

lim(n--> oo) [ln(f(n))] = 2

lim(n--> oo) f(n) = e²

:zen:

[Ericovitchi]

Bonjour, effectivement, il faut écrire An=
Puis poser x=2/n on voit alors que l'exposant s'écrit 2 ln(1+x)/x avec x tendant vers 0

ln(1+x)/x a une limite connue car c'est un accroissement ( f(1+x)-f(1))/x avec f(x)=ln(x) et on sait que ça tend vers f'(1) donc vers 1