Prouver que g(x)<0 dans un intervalle

[cherryfire]

J'ai un dm de math et je ne trouve pas la réponse à cette question :
Prouver que g(x)<0 pour tout x appartenant à ]0;1[ et g(x)>0 pour tout x appartenant à ]1;+infini[
(Sachant que g(x) = 2xlnx+x-1)

J'ai supposé qu'il fallait faire comme ci :
0 < x < 1 et transformer x en la fonction g mais je vois mal comment ça pourrait prouver quelque chose !

Donc est ce que l'un de vous connaît la réponse et pourrait me l'expliquer ?

PS : c'est mon premier message sur ce forum :p.

[chan79]

J'ai un dm de math et je ne trouve pas la réponse à cette question :
Prouver que g(x)0 pour tout x appartenant à ]1;+infini[
(Sachant que g(x) = 2xlnx+x-1)

J'ai supposé qu'il fallait faire comme ci :
0 < x < 1 et transformer x en la fonction g mais je vois mal comment ça pourrait prouver quelque chose !

Donc est ce que l'un de vous connaît la réponse et pourrait me l'expliquer ?

PS : c'est mon premier message sur ce forum :p.

on peut le faire en étudiant les variations de g
il faut montrer que la limite en 1 est -1, que g décroît puis croît
bien-sûr, g(1)=0

[cherryfire]

on peut le faire en étudiant les variations de g
il faut montrer que la limite en 1 est -1, que g décroît puis croît
bien-sûr, g(1)=0

J'ai déjà fait un tableau des variations mais je n'ai toujours pas compris comment faire ...

[Jemanden]

[quote="cherryfire"]J'ai un dm de math et je ne trouve pas la réponse à cette question :
Prouver que g(x)0 pour tout x appartenant à ]1;+infini[
(Sachant que g(x) = 2xlnx+x-1)

J'ai supposé qu'il fallait faire comme ci :
0 0 pour x€]1,+oo[

Dérive g.
Tu vas obtenir après étude du signe de g' les variations de g.
Sauf erreur de ma part, si tu parles bien de la fonction
g : x -> 2x * Ln(x) + x - 1

g décroissante sur ]0, exp(-3/2)[ et croissante sur le segment ]exp(-3/2) , +oo [

exp(-3/2) = 0.223 (approximativement)

d'où exp(-3/2) € ]0,1[

dans ]0,1[ tu as alors
g qui vient d'on ne sait où en décroissant, elle arrive à x=0.223 et elle remonte.
Elle aura alors un maximum :
- Soit en limite en 0
- Soit à son point maximum, c'est à dire à 1 (un tableau de variation illustre très bien cela)

Si ce maximum de g dans l'intervalle est négatif, cela signifie que g est négative sur tout l'intervalle.

Tu peux faire une méthode similaire sur ]1,+oo[, en t'intéressant désormais au minimum (et tu montrera que ce minimum de g sur l'intervalle ]1,+oo[ est positif !)

J'espère t'avoir aidé

[cherryfire]

Oui ça m'a été très utile merci

[cherryfire]

Oui ça m'a été très utile merci

J'ai eut 0 à cette question : en faite fallait juste faire un tableau de variation et constater le résultat :p

Mais merci quand même .

[chan79]

J'ai un dm de math et je ne trouve pas la réponse à cette question :
Prouver que g(x)0 pour tout x appartenant à ]1;+infini[
(Sachant que g(x) = 2xlnx+x-1)

J'ai supposé qu'il fallait faire comme ci :
0 < x < 1 et transformer x en la fonction g mais je vois mal comment ça pourrait prouver quelque chose !

Donc est ce que l'un de vous connaît la réponse et pourrait me l'expliquer ?

PS : c'est mon premier message sur ce forum :p.

si x est compris entre 0 et 1 alors x-1 est négatif ainsi que ln(x)
2xln(x) est négatif donc 2x ln(x) +x-1 est négatif

si x est plus grand que 1 alors x-1 est positif ainsi que ln(x)
2xln(x) est positif donc 2x ln(x) +x-1 est négatif