Extension de R

[pozor16]

Bonjour à tous,

J'ai un petit exo à comprendre et je dois avouer avoir juste un peu de mal à démarrer.

Soit K une extension de R que l'on suppose différente et commutative.

1. Soit a une élément de K\R. Montrer que a est racine d'un polynôme irréductible de R[X].

2. Montrer que ce polynôme est de degré 2.

3. En déduire que K est isomorphe à C.


Quelqu'un peut m'aider pour le point 1. Je pense qu'ensuite cela ira tout seul. Ca à l'air bête mais je vois pas comment partir ou formuler un résultat.

Merci d'avance.

[adrien69]

Salut,
Ton exercice m'a l'air faux, ou alors tu as oublié des hypothèses. Le corps des fractions rationnelles sur R est une extension stricte de R mais que le diable m'emporte si tu peux trouver un polynôme de degré 2 qui annule 1/X.

[Doraki]

L'énoncé voulait probablement dire une extension de R de dimension finie.

[adrien69]

Dans ce cas là pour la question 1 l'idée de départ doit être que toute extension de degré fini est algébrique.
(même si je ne vois pas bien l'intérêt des questions intermédiaires)