Extension de R
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pozor16
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par pozor16 » 23 Jan 2013, 09:34
Bonjour à tous,
J'ai un petit exo à comprendre et je dois avouer avoir juste un peu de mal à démarrer.
Soit K une extension de R que l'on suppose différente et commutative.
1. Soit a une élément de K\R. Montrer que a est racine d'un polynôme irréductible de R[X].
2. Montrer que ce polynôme est de degré 2.
3. En déduire que K est isomorphe à C.
Quelqu'un peut m'aider pour le point 1. Je pense qu'ensuite cela ira tout seul. Ca à l'air bête mais je vois pas comment partir ou formuler un résultat.
Merci d'avance.
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adrien69
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par adrien69 » 23 Jan 2013, 13:08
Salut,
Ton exercice m'a l'air faux, ou alors tu as oublié des hypothèses. Le corps des fractions rationnelles sur R est une extension stricte de R mais que le diable m'emporte si tu peux trouver un polynôme de degré 2 qui annule 1/X.
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Doraki
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par Doraki » 23 Jan 2013, 13:57
L'énoncé voulait probablement dire une extension de R de dimension finie.
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adrien69
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par adrien69 » 23 Jan 2013, 14:35
Dans ce cas là pour la question 1 l'idée de départ doit être que toute extension de degré fini est algébrique.
(même si je ne vois pas bien l'intérêt des questions intermédiaires)
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