Continuité, dérivabilité.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Je sais que la limite en 0 de sin(1/x) est undefined, mais quid de sa continuité en 0 ?
Si on définit f1:x -> sin(1/x) sur R*, nous pouvons dire que f1 est continue sur son intervalle de définition, c'est-à-dire R*. Si par contre nous donnons pour tout x différent de 0 f(x)=sin(1/x) et f(0)=0, f n'est toujours pas continue sur R, car sa limite à gauche et à droite en 0 n'existe pas (je passe par une caractérisation séquentielle pour le prouver).
Maintenant, si je prends un connexe [a,b] de R qui ne contient pas 0, je montre que f satisfait la PVI (propriété des valeurs intermédiaires) en utilisant le TVI pour une fonction continue et définie sur un intervalle I de R.
Par contre, si 0 appartient à [a,b], comment dois-je faire ?

Nota : La PVI stipule que pour tout a et b dans I, soit un réel l dans [min(f(a),f(b)),max(f(a),f(b))], il existe un réel c de [min(a,b),max(a,b)] tel que f(c)=l.

Merci pour votre aide :)

[mb_y019]

Salut, je n'ai pas très bien compris tu veux prouver que sin(1/x) n'est pas continue en 0 ? Si elle l'était alors il existerait l dans [-1,1] tq f(0) = l, on peut toujours construire une suite un qui tend vers 0 telle que la suite suite f(un) ne tend pas vers l quelque soit le l qu'on se donne nan ? Par exemple, un = 1/(2nPi + arcsin(l/2)) ? un tend vers 0 mais f(un) = l/2 qui est different de l si l est différent de 0 et comme tu as déjà prouvé que si on fixait l = 0 ça ne marchait pas alors c'est bon ?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut, je n'ai pas très bien compris tu veux prouver que sin(1/x) n'est pas continue en 0 ? Si elle l'était alors il existerait l dans [-1,1] tq f(0) = l, on peut toujours construire une suite un qui tend vers 0 telle que la suite suite f(un) ne tend pas vers l quelque soit le l qu'on se donne nan ? Par exemple, un = 1/(2nPi + arcsin(l/2)) ? un tend vers 0 mais f(un) = l/2 qui est different de l si l est différent de 0 et comme tu as déjà prouvé que si on fixait l = 0 ça ne marchait pas alors c'est bon ?

Non, c'est bon, je l'avais déjà démontré

Ce que je voulais montrer, c'est que si nous prenions un intervalle I qui ne contient pas 0, alors f y satisfait la PVI.
Mais ça aussi je pense avoir réussi à le montrer finalement : prenons toujours deux suites (xn) et (yn) qui tendent toutes deux vers 0 mais qui composées par f ne prennent pas les mêmes valeurs.
Alors à partir d'un certain rang, ces deux suites sont à valeur dans I. Donc [-1,1] est inclu dans l'image de [xn,yn] que nous nommons f([xn,yn]) qui est lui-même dans l'image de I par f, qui est inclu dans [-1,1]. Donc par double inclusion, l'image de I par f vaut [-1,1].
f satisfait donc la PVI.

Je demande quand même vérification.

[mb_y019]

Non, c'est bon, je l'avais déjà démontré

Ce que je voulais montrer, c'est que si nous prenions un intervalle I qui ne contient pas 0, alors f y satisfait la PVI.
Mais ça aussi je pense avoir réussi à le montrer finalement : prenons toujours deux suites (xn) et (yn) qui tendent toutes deux vers 0 mais qui composées par f ne prennent pas les mêmes valeurs.
Alors à partir d'un certain rang, ces deux suites sont à valeur dans I. Donc [-1,1] est inclu dans l'image de [xn,yn] que nous nommons f([xn,yn]) qui est lui-même dans l'image de I par f, qui est inclu dans [-1,1]. Donc par double inclusion, l'image de I par f vaut [-1,1].
f satisfait donc la PVI.

Je demande quand même vérification.

Mais si un intervalle I ne contient pas 0 alors f est continue sur cet intervalle et elle satisfait automatiquement la propriété des valeurs intermédiaires c'est le TVI qui le dit.

Edit : C'est dailleurs ce que tu as écrit à ton premier post. C'est donc que tu veux montrer que si I contient 0 alors f satisfait la PVI ce qui me semble faux, en prenant a=b=0, ça revient à prouver que f est continue en 0.

[Kikoo <3 Bieber]

Mais si un intervalle I ne contient pas 0 alors f est continue sur cet intervalle et elle satisfait automatiquement la propriété des valeurs intermédiaires c'est le TVI qui le dit.

Edit : C'est dailleurs ce que tu as écrit à ton premier post. C'est donc que tu veux montrer que si I contient 0 alors f satisfait la PVI ce qui me semble faux, en prenant a=b=0, ça revient à prouver que f est continue en 0.

Oui, ça c'est bon. Par contre, ce que je viens de t'écrire, c'est si 0 appartient à I.

Par contre, non. f n'est pas continue en 0 mais satisfait la PVI sur un intervalle contenant 0, et c'est l'objet de ma démonstration : on ne passe pas par le TVI, qui n'est pas applicable dans notre cas.

[mb_y019]

Oui, ça c'est bon. Par contre, ce que je viens de t'écrire, c'est si 0 appartient à I.

Par contre, non. f n'est pas continue en 0 mais satisfait la PVI sur un intervalle contenant 0, et c'est l'objet de ma démonstration : on ne passe pas par le TVI, qui n'est pas applicable dans notre cas.

Quand j'ai écrit f je voulais dire f(x) = sin(1/x) ! Du coup si on prend ton f (f(x) = sin(1/x) et f(0) = 0) à toi c'est différent !

[Kikoo <3 Bieber]

f définie par f(x)=sin(1/x) si x différent de 0 et f(0)=0 n'est pas non plus continue en 0, je ne vois pas ce qui te gène.

[mb_y019]

f définie par f(x)=sin(1/x) si x différent de 0 et f(0)=0 n'est pas non plus continue en 0, je ne vois pas ce qui te gène.

Oui elle n'est pas continue 0, mais y est bien définie et cette fonction vérifie la propriété des valeurs intermédiaire.

Je me suis un peu emmêlé les pinceaux en restant bloqué sur f(x)= sin(1/x) qui n'est de toute façon pas défini en 0.

Mea culpa.

[Kikoo <3 Bieber]

Ce n'est rien :)