Algèbre Andomorphismes

[Hestia_mina]

Bonsoir à tous,
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphisme de E,F un sous espace vectoriel de E, montrer que :
F c f(F) ==> f(F)=F

voici mon approche :
considérons la restriction de f dans F :
f:F --> F endomorphisme
alors f(F) est inclus dans l'ensemble d'arrivé,donc, dans F
et donc f(F) = F car on a l'inclusion dans les 2 sens :hein:
je voudrais savoir si ma méthode est correcte ou pas,
Merci bcp =)

[Nightmare]

Salut,

Oui, c'est correct, mais tu n'avais pas besoin de restreindre f à F.

L'hypothèse de la dimension finie est superflue du coup.

[Hestia_mina]

L'hypothèse de la dimension finie est superflue du coup.

Vous pourriez m'expliquer d'avantage svp ? :triste:
on aurait pu traiter l'exercice plus facilement ?

[Nightmare]

Non, on ne peut pas faire plus simple que ce que tu as fait qui est déjà très simple!

Ce que je voulais dire est que tu n'utilises pas l'hypothèse de dimension finie dans ta démonstration, c'est donc qu'elle est inutile et que l'exercice reste vrai en dimension infinie.

[Hestia_mina]

Ah d'accord, merci beaucoup =)
par contre, je me demandais s'il existait des conditions pour pouvoir considérer la restriction de f ?
ou alors, juste le fait que F soit un sous espace vectoriel suffit ?

[wserdx]

Euh, que ce passe-t-il en dimension infinie si on a par exemple

et
et engendré par ?

[Nightmare]

wserdx > Ton endomorphisme n'arrive pas dans F donc ne satisfait pas les hypothèses.

Edit : Ok, je viens de comprendre c'est de ma faute, j'ai lu "f un endomorphisme de E dans F" à la place de "f un endomorphisme de E,F [...]"