Opérateur compact

[kammi]

bonjour,
soit X un espace de Banach, T un opérateur compact de X dans X, on suppose que T est inversible

montrer qu'en général T^(-1) (c'est l'inverse de T) n'est meme pas continue

[mb_y019]

Salut,
Qu'as tu essayé de faire ?

[kammi]

Salut,
Qu'as tu essayé de faire ?

j'ai obtenu le contraire de ce que je doit montrer :hein:
on a T entre deux Banach,il est a fortiori continu. Si on suppose de plus qu'il est bijectif, c'est nécessairement un homéomorphisme donc la reciproque est continue ce qui montre le contraire !!!! :help:

[girdav]

Le "en général" veut dire "en dimension infinie". L'identité n'est pas compacte.

[kammi]

Le "en général" veut dire "en dimension infinie". L'identité n'est pas compacte.

???? j'ai pas compris

[girdav]

1. Vois-tu pourquoi, si est de dimension infinie, alors l'identité ne peut pas être compacte ?

2. Si est borné et compact alors est compact.

[bentaarito]

girdav a dit que

Si on suppose de plus qu'il est bijectif, c'est nécessairement un homéomorphisme donc la reciproque est continue ce qui montre le contraire !!!! :help:

devient faux dès qu'on est plus en dimension finie.

[Arkhnor]

Bonjour,

Pour moi, l'énoncé est faux, et il n'y a rien à ajouter. Avec les hypothèses qui sont faites, T^{-1} est toujours continu. Le "en général" ne change strictement rien.
Reste à savoir d'où provient cet exercice, pour savoir qui accuser : l'auteur de l'exercice, ou celui qui l'a recopié ici.

Si T est compact et inversible, alors X est de dimension finie, et donc l'inverse de T est continu. Une autre façon de voir est de remarquer que la continuité de T^{-1} provient du théorème de Banach.

Tout ceci a déjà été dit sur un autre forum.

[kammi]

1. Vois-tu pourquoi, si est de dimension infinie, alors l'identité ne peut pas être compacte ?

2. Si est borné et compact alors est compact.

svp tu peus m'expliquer l'utilité de la dimmension de X dans cet exo?, car j'arrive pas à comprendre ton idée

[Arkhnor]

Si l'identité est compacte, la boule unité fermée est compacte (car image d'elle-même, partie bornée, par l'identité qui est compacte), et donc l'espace est de dimension finie par Riesz.

[kammi]

Si l'identité est compacte, la boule unité fermée est compacte (car image d'elle-même, partie bornée, par l'identité qui est compacte), et donc l'espace est de dimension finie par Riesz.

oui je sait qu'en dimension infinie L'identité n'est pas compacte. mais j'arrive pas à voir l'utilité de cette hypothése dans l"exercice :mur: .