Fonctions usuelles

[Kikoo <3 Bieber]

Salut


Pour montrer que deux arctangentes sont égales, j'ai eu l'idée de montrer (en supposant la dérivabilité de Arctan sur l'ensemble des réels) que Arctan' est injective sur sa restriction aux réels positifs.
Ainsi, pour tous x et x' de R+, si Arctan'(x)=Arctan'(x'), alors x=x'; ce qui est plus facile à manier que de traiter l'arctangente.

Le problème est que je ne trouve pas le résultat escompté (ma méthode serait-elle fausse ?). Je me demande aussi s'il n'y aurait pas une technique plus courte et peut-être plus élégante.

[Nightmare]

Hello,

sais-tu que vaut Arctan' ?

[Kikoo <3 Bieber]

Oui, c'est la fonction qui à un certain réel x associe un réel y de [0,1] tel que
A partir de là, j'ai calculé Arctan'(x) et Arctan'(x') mais je trouve des résultats différents...

[Nightmare]

Donc Arctan'(x)=Arctan'(y) <=> 1/(x²+1)=1/(y²+1).

A partir de là, tu ne peux pas montrer que x=y?

[Kikoo <3 Bieber]

Donc Arctan'(x)=Arctan'(y) 1/(x²+1)=1/(y²+1).

A partir de là, tu ne peux pas montrer que x=y?

Si si !

Mais c'est dans l'application numérique que ça bloque...

[Nightmare]

Qu'est-ce que tu entends par l'application numérique?

[Kikoo <3 Bieber]

Je dois montrer que 2arctan(1/2)=arctan(4/3)

Edit : c'est vrai que "application numérique" fait un peu physicien...

[Kikoo <3 Bieber]

Ne faut-il pas passer par la dérivée de l'arc tangente ?

[Nightmare]

Dans ce genre de situation, le mieux est d'appliquer tan des deux côtés et de vérifier que c'est égaux (et vérifier qu'on peut en déduire l'égalité sans tan)

[Kikoo <3 Bieber]

Oui ! C'est bien ça :) Et moi qui vais toujours chercher la petite bête là où elle n'y est pas...
Merci beaucoup !

[Kikoo <3 Bieber]

Salut !

En khôlle, mon prof me donne pour exercice d'analyser la fonction
Après avoir regardé si la fonction est périodique (j'ai par l'occasion déterminé sa périodicité), j'ai voulu restreindre son ensemble de définition au maximum sur un intervalle qui me permettrait d'étudier une bijection (je donne l'hypothèse que la fonction est continue sur cet intervalle).
Je dérive. Le khôlleur ne dit rien et me laisse continuer mon calcul jusqu'au bout. J'en conclus qu'il est préférable de se restreindre sur car je tombe sur une formule dont le dénominateur s'annule périodiquement modulo pi.

Mais là, il me demande ce qui m'autorise à dériver. Et là c'est confus (d'ailleurs là j'ai aussi l'impression que l'exo est brouillon dans ma tête vu que la khôlle s'est passée lundi et que j'écris ce message sans avoir les notes de mon prof sous les yeux).

Finalement je trouve qu'une primitive de cette dérivée est t+cte et je trouve finalement que cte=0 (le prof m'a alors dit que je pouvais ouvrir mon intervalle dans ce cas-ci, mais je ne me rappelle plus exactement pourquoi :/).
Par hypothèse de continuité, de parité et de périodicité, je dessine une fonction en dent de scie.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer la démarche pour réussir un tel exo ?

Merci

[Luc]

Par hypothèse de continuité, de parité et de périodicité, je dessine une fonction en dent de scie.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer la démarche pour réussir un tel exo ?

Merci

Oui, c'est une fonction "signal triangle"!

Mais là, il me demande ce qui m'autorise à dériver. Et là c'est confus (d'ailleurs là j'ai aussi l'impression que l'exo est brouillon dans ma tête vu que la khôlle s'est passée lundi et que j'écris ce message sans avoir les notes de mon prof sous les yeux).

L'image de ]0,pi[ par cos est ]-1,1[, et arccos est dérivable sur cet intervalle. Donc on peut appliquer le théorème de dérivabilité d'une composée (c'est juste un cas particulier de composition de limites).

[Kikoo <3 Bieber]

Bonsoir,

n de N*, x de R, je note p=E(nx) où q de Z et r de N tels que :
p=nq+r (division euclidienne), avec r appartenant à l'intervalle d'entiers [[0,n[[.

Je dois montrer que pour tout k entier de {0,...,n-r-1}, j'ai E(x+(k/n))=q et
pour tout k entier de {n-r,...,n-1}, E(x+(k/n))=q+1

Je commence par dire que q=(E(nx)-r)/n donc en écrivant les inégalités propres à la définition de la fonction partie entière, j'espère tomber sur un entier plus petit que (xn+k)/n mais toujours plus grand que l'entier en-dessous de (E(nx)-r)/n, pour ainsi pouvoir démontrer que E(x+(k/n))=(E(nx)-r)/n
Or pour k valant n-r-1 au max, j'ai E(x+(k/n))=E((xn+n-r-1)/n)=E((nx-r-1)/n + 1)=E((nx-r-1)/n)+1

Et je ne sais plus quoi faire !

Merci d'avance de me mettre sur la piste.

Question bis : est-ce qu'une somme entière doit certainement être composée d'entiers ?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Si f est une fonction au moins K-Lipschitzienne sur [a,b], est-ce que je peux dire que sur cet intervalle, ?

[Judoboy]

Tu peux dire ça si f est exactement K-lipschitzienne et si elle est dérivable.

Ca se montre en 2 secondes en faisant les 2 inégalités (il faut utiliser le théorème des accroissements finis je crois flemme de le refaire là)

[Kikoo <3 Bieber]

Tu peux dire ça si f est exactement K-lipschitzienne et si elle est dérivable.

Ca se montre en 2 secondes en faisant les 2 inégalités (il faut utiliser le théorème des accroissements finis je crois flemme de le refaire là)

Salut,

Pas encore vu le TAF mais ça doit pas être difficile à mettre en oeuvre Je suis en plein sur la continuité là, ça va arriver assez vite je pense.

Sinon, j'essaie depuis tout à l'heure de trouver une fonction dilatante non monotone, telle qu'elle ne soit pas définie par morceaux (la dernière condition n'est pas spécifiée par l'énoncé, mais je veux en trouver une qui satisfasse aussi ce critère).

Sachant qu'ici nous travaillons de R dans R, je pense qu'il n'est pas question de définir des restrictions d'intervalle.
En fait, j'aimerais bien trouver une fonction dont la dérivée est plus grande que 1 en valeur absolue sur R. Cela me donne à résoudre l'inéquation fonctionnelle pour ensuite intégrer une solution convenable. Parce que voire sont monotones, par exemple.

Auriez-vous une idée ?

[Nightmare]

Salut,

qu'est-ce que tu appelles "dilatante" et qu'entends-tu par "non définie par morceau"?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut Nightmare,

Une fonction dilatante sur R est une fonction de R dans R telle que



Une fonction définie par morceaux est donnée de manière explicite sur chaque intervalle de son ensemble de définition : Par exemple, f définie de [-1,1] dans R vaut -2x sur [-1,0] et x sur [0,1].

Je veux une fonction qui soit définie de manière explicite sur l'intervalle tout entier, et non sur une jonction d'intervalles.

[Nightmare]

Une fonction définie par morceaux est donnée de manière explicite sur chaque intervalle de son ensemble de définition : Par exemple, f définie de [-1,1] dans R vaut -2x sur [-1,0] et x sur [0,1].

Je veux une fonction qui soit définie de manière explicite sur l'intervalle tout entier, et non sur une jonction d'intervalles.

Je ne comprends pas, au pire tu utilises la fonction caractéristique si tu veux que l'expression soit d'un seul bloc non?

[Kikoo <3 Bieber]

Je veux trouver une expression et une seule valable sur tout R.

Que veux-tu dire par "fonction caractéristique" ?