Construction de base adaptée

[Judoboy]

Yop, j'ai l'impression que comme beaucoup de gens la théorie des modules ça m'inspire pas :D

Bref, on a le théorème de la base adaptée c'est cool mais en pratique pour construire une base adaptée je me rappelle plus la méthode.

Exemple simple : je prends L' le sous-module de Z^3 = L engendré par (2,0,0), (0,4,0) et (0,0,7) (j'ai pris cet exemple complètement au pif, si vous en avez des plus parlants je suis ok).

L/L' est isomorphe à Z/2 x Z/4 x Z/7, ou encore Z/2 x Z/28 (ses facteurs invariants sont 2 et 28, je sais pas pourquoi on appelle ça des facteurs invariants btw) ; je dois chercher une base (a,b,c) de L telle que (a,2b,28c) soit une base de L'. Je fais comment ?

[Doraki]

Tout ce que tu as à retenir c'est le cas n=2 et a et b premiers entre eux.
Prend L = Z² et L' = aZ*bZ.
Comme il existe u,v tels que au+bv = 1, alors
(b -u) est dans GL2(Z),
(a v)

et donc puisque L' = <(a,0);(0,b)>, en appliquant ce changement de base, on a L' = <(ab,ab) ; (-au,bv)> = .
Et tu vérifies que <(1,1);(-au,bv)> est un sous-module de L dont L' est d'indice ab, donc c'est L.

Dans ton cas, 2*4+(-1)*7 = 1,
donc <(0,4,0),(0,0,7)> = <28.(0,1,1),(0,-8,-7)>.
Et donc ((0,-8,-7),(1,0,0),(0,1,1)) est une base de L adaptée à L'.

[Joker62]

C'est beau !!!

J'aimerai bien me remettre aux modules !
Y'a des papiers sympa qui traînent sur le net ou des bouquins assez précis ?

[Doraki]

Là j'ai rien mais tu peux toujours chercher "introduction to commutative algebra" sur google.

[Nightmare]

Tout ce que tu as à retenir c'est le cas n=2 et a et b premiers entre eux.
Prend L = Z² et L' = aZ*bZ.
Comme il existe u,v tems que au+bv = 1, alors
(b -u) est dans GL2(Z),
(a v)

et donc puisque L' = , en appliquant ce changement de base, on a L' = = .
Et tu vérifies que est un sous-module de L dont L' est d'indice ab, donc c'est L.

Dans ton cas, 2*4+(-1)*7 = 1,
donc = .
Et donc ((0,-8,-7),(1,0,0),(0,1,1)) est une base de L adaptée à L'.

Super, je garde pour l'agreg!

[Joker62]

C'est vrai que c'est une super méthode !
Puis ça réinvesti pas mal de choses !

Je vais voir le bouquin.
Merci.

[Doraki]

En fait matriciellement tout se résume à :

(a 0) (b -u)
(0 b) (a v)
=
(1 -au) (ab 0)
(1 bv ) ( 0 1)

où on voit bien les facteurs invariants et les deux changements de base.

(la balise tex parse mal les & du coup j'peux pas mettre en forme)

[Judoboy]

Doraki je comprends pas très bien ton changement de variables ni ton histoire de "matriciellemment tout se résume à", tu peux détailler un peu stp ?

J'ai trouvé ça http://www.math.jussieu.fr/~thomas/LM270/Matrice%20de%20passage%20et%20changement%20de%20base%20(Annette%20Paugam,%202005).pdf

(toujours ce fameux site de l'agreg de Rennes, une mine d'or ce truc) ça a réussi à me réembrouiller avec les changements de base :/

Page 2 (changement de base) ils disent que la matrice de passage c'est les coordonnées de la nouvelle base dans l'ancienne base (ça OK)

Page 4 (changement de coordonnées) ils appellent matrice de passage la matrice des coordonnées en ligne de l'ancienne base dans la nouvelle (ça me semble contradictoire avec la page 2).


Toi tu fais un changement de coordonnées en passant à la base (b,-u), (a,v) c'est ça ? C'est quoi le détail des calculs derrière ?

Si j'ai le même problème en dimension 3 ou 4 ça va être atroce les calculs non ?



@joker : y a le cours de mon prof, perso j'aime pas du tout mais y a plein de gens qui disent que c'est une légende des maths françaises alors peut-être que c'est moi qui délire : http://www.math.jussieu.fr/~lannes/M1/PID-P7.pdf

[Joker62]

Merci beaucoup :)

[Doraki]

Si tu as (L,(e1...en)) un Z-module libre de rang n muni d'une base,
les sous-Z-module libres de rang n de L sont tous de la forme (<(f1...fn)>,(f1...fn))
où fj = somme des aij ei.
Donc on prend A = (aij) (ou (aji) je sais pas) la matrice dont les colonnes sont les coordonnées de fj dans la base (ei) (plus généralement si on a x dans L, (x|(L,(ei))) = A (x|(L',(fj))), où (x|(L',(fj))) est le vecteur des coordonnées de x de L' dans la base (fj) de L') (cf ta définition page 2)

Les matrices A possibles sont exactement {A de Mn(Z) / det(A) <> 0}.
Les changements de bases correspondent aux matrices A qui sont inversibles dans Mn(Z), donc à GLn(Z) = {A de Mn(Z) / det(A) = +-1}

Et bien sûr si tu as (L",(gk)) inclus dans (L',(fj)) (par A'), lui même inclus dans (L,(ei)) (par A),
alors la matrice de passage de l'inclusion (L",(gk)) < (L,(ei)) est AA' :
si x est dans L", A A' (x|(L",(gk))) = A (x|(L',(fj))) = (x|(L,(ei))).

Maintenant toi tu as (L,(e1,e2)) et (L',(f1,f2)) le sous-module de L correspondant à la matrice de passage P = ((a,0),(0,b)) (donc f1=a.e1 et f2=b.e2).
Tu cherches des bases (e'j) et (f'i) qui soient adaptées à ton L', c'est-à-dire :

la matrice de passage A de (L,(e1,e2)) à (L,(e'1,e'2)) est inversible
la matrice de passage B de (L',(f1,f2)) à (L',(f'1,f'2)) est inversible
la matrice de passage P' de (L,(e'1,e'2)) à (L',(f'1,f'2)) doit être ((1,0),(0,ab)).

Donc quand tu écris la matrice de passage de (L,(e1,e2)) à (L',(f'1,f'2)), tu as deux manières de passer par un truc intermédiaire, et tu dois donc avoir : P B = A P'

Et c'est bien ce que j'ai sorti dans mon message précédent (à interversion des coordonnées près, puisque j'ai P' dans le mauvais sens)


Ensuite quand je dis que c'est la brique élémentaire, c'est que tu peux passer de (produit des Z/niZ)
au bon produit (produit des Z/diZ, où di|d(i+1)) en répétant les opérations "remplacer (ni=g*a,ni+1=g*b) par (g,g*a*b) où g = gcd(ni,ni+1)" jusqu'à ce que tu puisses plus rien faire.

Après y'a plus qu'à traduire chaque étape avec les changements de bases que je donne, et tout recomposer pour obtenir les changements de bases globaux.