Injection surjection et bijection

[Kael8]

Bonjour à tous,

J'ai récemment débuté l'apprentissage en autodidacte des cours d'analyse mathématiques.
Voici une proprosition et la démonstration proposée dans mon syllabus, je ne comprends pas du tout en quoi elle démontre ma proposition:

Proposition: Une application f : A -->B est injective si et seulement s'il existe une application g: B-->A telle que g ° f = id(A)

Preuve: La condition est nécessaire. Choisissons un point a0 de A. On vérifie de suite que g: B-->A défini par g(f(a))= a pour tout a appartenant à A et g(b) = a0 pour tout b appartenant à B\f(A) convient.
La condition est suffisante car, si les points a1, a2 de A ont même image, il vient a1 = g(f(a1)) = g(f(a2)) = a2.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer, svp???

[ampholyte]

Bonjour,

On dit qu'une fonction est injective si il existe au plus un élément a dans l'ensemble de définition A tel que f(a) = b. On dit encore dans ce cas que tout élément b de B admet au plus un antécédent a (par f).

Pour l'exemple, la fonction x² n'est pas injective pour I = ]-oo; +oo[ car il existe deux valeurs de x pour un f(x) donnée. Si l'on veut x² = 4, on a x = -2 et x = 2.
Or par définition de l'injection, il ne peux y avoir qu'au plus un élément a de I tel que f(a) = b or ici on a
f(2) = 4 et f(-2) = 4.

En revanche si on prend f(x) = x² et que I = [0, +oo[ alors la fonction est injective car pour un f(x) donné, il n'y a qu'un x possible. x² = 4 <=> x = 2 (à cause de I). Donc f(2) = 4 est le seul point existant sur cette intervale.

On peut résumer cela par ceci :
f est injective si f(a) = f(b) alors a = b

[Kael8]

Bonjour,

On dit qu'une fonction est injective si il existe au plus un élément a dans l'ensemble de définition A tel que f(a) = b. On dit encore dans ce cas que tout élément b de B admet au plus un antécédent a (par f).

Pour l'exemple, la fonction x² n'est pas injective pour I = ]-oo; +oo[ car il existe deux valeurs de x pour un f(x) donnée. Si l'on veut x² = 4, on a x = -2 et x = 2.
Or par définition de l'injection, il ne peux y avoir qu'au plus un élément a de I tel que f(a) = b or ici on a
f(2) = 4 et f(-2) = 4.

En revanche si on prend f(x) = x² et que I = [0, +oo[ alors la fonction est injective car pour un f(x) donné, il n'y a qu'un x possible. x² = 4 x = 2 (à cause de I). Donc f(2) = 4 est le seul point existant sur cette intervale.

Merci ampholyte mais je me suis sans doute mal exprimé.
Ce n'est pas la définition qui me pose problème mais la preuve de la proposition proposée.

[ampholyte]

Autant pour moi, quel est la partie que tu as mal comprise dans la preuve ?

[Kael8]

Autant pour moi, quel est la partie que tu as mal comprise dans la preuve ?

Malheureusement, j'ai presque envie de dire "tout".
J'ai l'impression qu'elle ne répond pas à la propriété proposée.
La deuxième partie (condition suffisante) j'ai l'impression qu'on me redonne juste la définition de l'injection.
Et la première partie m'est... venue d'un autre monde, ou presque.

[Désolé, ça vous semble sans doute d'une facilité déconcertante je me sens un peu nul là ]

[raph107]

Bonjour à tous,

J'ai récemment débuté l'apprentissage en autodidacte des cours d'analyse mathématiques.
Voici une proprosition et la démonstration proposée dans mon syllabus, je ne comprends pas du tout en quoi elle démontre ma proposition:

Proposition: Une application f : A -->B est injective si et seulement s'il existe une application g: B-->A telle que g ° f = id(A)

Preuve: La condition est nécessaire. Choisissons un point a0 de A. On vérifie de suite que g: B-->A défini par g(f(a))= a pour tout a appartenant à A et g(b) = a0 pour tout b appartenant à B\f(A) convient.
La condition est suffisante car, si les points a1, a2 de A ont même image, il vient a1 = g(f(a1)) = g(f(a2)) = a2.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer, svp???

Pour comprendre la démonstation tu appelles C le complémentaire dans B de f(A)
Un élément de B est soit dans C soit dans f(A)

Pour la condition nécessaire on sait que f est injective et on veut démontrer l'existence de g
On définit g de la façon suivante:
si y appartient à f(A) alors g(y) = antécédent de y par f
si y appartient à C, on se fixe un point a0 de A et on pose g(y) = a0 autrement dit g est constante sur C et on a bien g ° f = id(A)

La condition suffisante est une application directe de la définition d'une fonction injective

[Kael8]

Un grand merci raph107!

C'était donc pas bien compliqué mais la formulation me freinait un peu :)
Merci!