Gradient et hessien

[bentaarito]

bonsoir;

j'arrive pas à calculer le gradient ( et donc le hessien) de cette fonctionnelle
https://www.dropbox.com/s/3dsv2e02xu6f85f/2013-01-06%2015.50.00-1.jpg

en fait j'arrive à calculer J'(u).h mais j'arrive pas à isoler le gradient :mur: des idées??

[bentaarito]

Un petit Up.

[bentaarito]

Pour la 1ere question, je dois montrer que J est infinie à l'infini.

soit une suite de fonctions de telle que
j'arrive pas à montrer que :mur:

[mb_y019]

Pour la 1ere question, je dois montrer que J est infinie à l'infini.

soit une suite de fonctions de telle que
j'arrive pas à montrer que :mur:

Salut,

As tu essayé de minoré ?
On peut écrire par exemple, ensuite utilisé Cauchy Schwarz et en déduire que est plus grand qu'un polynome en qui tend vers au voisinage de .
Juste une petite question, quel est la dimension de l'espace dans lequel est l'ouvert ?

[mb_y019]

bonsoir;

j'arrive pas à calculer le gradient ( et donc le hessien) de cette fonctionnelle
https://www.dropbox.com/s/3dsv2e02xu6f85f/2013-01-06%2015.50.00-1.jpg

en fait j'arrive à calculer J'(u).h mais j'arrive pas à isoler le gradient :mur: des idées??

En ce qui concerne le gradient, si tu as réussi à calculer la différentielle, qui est une forme linéaire et continue sur , alors tu peux identifier son gradient à l'aide du théorème de représentation de Riesz.

[bentaarito]

Salut,

As tu essayé de minoré ?
On peut écrire par exemple, ensuite utilisé Cauchy Schwarz et en déduire que est plus grand qu'un polynome en qui tend vers au voisinage de .
Juste une petite question, quel est la dimension de l'espace dans lequel est l'ouvert ?

pourquoi a-t-on cette minoration? la norme sur c'est la norme de la fonction plus la norme de son gradient!

[mb_y019]

pourquoi a-t-on cette minoration? la norme sur c'est la norme de la fonction plus la norme de son gradient!

Connais tu l'inégalité de Poincaré ? Celle ci nous permet de dire que sur on peut définir une norme équivalente à la norme qui est la norme du gradient dans . C'est pour cela que j'ai écrit cette minoration. En utilisant justement linégalité de Poincaré, tu dois pouvoir minorer la fonctionnelle par un polynôme en .

[bentaarito]

Connais tu l'inégalité de Poincaré ? Celle ci nous permet de dire que sur on peut définir une norme équivalente à la norme qui est la norme du gradient dans . C'est pour cela que j'ai écrit cette minoration. En utilisant justement linégalité de Poincaré, tu dois pouvoir minorer la fonctionnelle par un polynôme en .

oui je connais ce théorème. mais comme tu l'as écrit je vois pas comment. y a pas une constante qui manque devant la norme?

[bentaarito]

En ce qui concerne le gradient, si tu as réussi à calculer la différentielle, qui est une forme linéaire et continue sur , alors tu peux identifier son gradient à l'aide du théorème de représentation de Riesz.

ah oui j'ai pas pensé à ça! merci.
mais juste pour mieux comprendre, qu'entends-tu par identifier?
par exe: si je trouve J'(u).h= grad(u).grad(h), que sera grad(J) dans ce cas?

[mb_y019]

ah oui j'ai pas pensé à ça! merci.
mais juste pour mieux comprendre, qu'entends-tu par identifier?
par exe: si je trouve J'(u).h= grad(u).grad(h), que sera grad(J) dans ce cas?

Bon alors concrètement, l'inégalité de Poincaré dit :
donc en élevant au carrée et en ajoutant la norme du gradient dans de part et d'autre de l'inégalité on obtient , ce qui nous permet de déduire que les normes et sont équivalentes (bien sur je n'ai pas démontre l'autre inégalité qui est facile à prouver). Du coup, on munit de la norme du gradient dans et on travaille avec celle-ci. De la précédente minoration que je t'ai donné il te faut minorer le terme . En utilisant l'inégalité de Cauchy Schwarz et l'inégalité de Poincaré tu dois trouver où P est un polynôme à déterminer.

Pour ce qui est du gradient de J, Le théorème de représentation de Riesz affirme l'existence et l'unicité d'un élément tel que c'est ce qu'on appelle gradient de la fonctionnelle J au point u. Pour trouver le W qu'on note en fait il faut résoudre un problème variationnel.

Edit : Dans l'exemple que tu donnes J'(u)h = grad(u).grad(h) au vu de ce que j'ai écrit précédemment tu dois trouver grad(J)(u) = ?

[mathelot]

bonjour,
juste une question d'un lecteur (sans vouloir polluer le fil) ...
i) en général, on ne dispose pas d'une base hilbertienne pour calculer la différentielle (le gradient) avec une série ?
ii) quelles sont les différences entre les espaces de Schwartz (de distributions) et les Sobolev ?

[mb_y019]

bonjour,
juste une question d'un lecteur (sans vouloir polluer le fil) ...
i) en général, on ne dispose pas d'une base hilbertienne pour calculer la différentielle (le gradient) avec une série ?
ii) quelles sont les différences entre les espaces de Schwartz (de distributions) et les Sobolev ?

Salut,

Pour i), je dirais pourvu que l'espace soit séparable, ce qui est le cas pour , on pourrait décomposer le gradient sur la base. En pratique, je veux dire numériquement, ça se fait et on se limite à une décomposition jusqu'à un certain nombre fini de vecteurs de bases. On s'arrange souvent pour que la base hilbertienne soit formée de fonctions propres d'un opérateur de façon à simplifier les calculs. Je sais que dans le monde du numérique, cette technique s'appelle la méthode modale, ou de décomposition modale.

Pour ii) L'espace des distributions est beaucoup plus large que les espaces de Sobolev. Typiquement, les Sobolev sont des distributions, mais le contraire est faux. Par exemple, la distribution de Dirac n'appartient à aucun des espaces Lp. C'est donc qu'elle n'est dans aucun des Sobolev. Les distributions des espaces de Sobolev ont quand même une certaines régularités, ce qui en fait des fonctions régulières dès que l'indice d'intégrabilité et de dérivabilité augmentent, cela dépend de la dimension de l'espace dans lequel on travaille. Par exemple, s'injecte dans en dimension 1, alors qu'en dimension 2 on a qui s'injecte dans .

En espérant avoir répondu à tes questions !

[bentaarito]

déjà merci pour tes explications qui me sont certainement utiles.

si j'avais j'aurais dit que dans ce cas
mais dans mon premier exemple je vois pas comment me débarrasser de l'intégrale :triste:

[mb_y019]

déjà merci pour tes explications qui me sont certainement utiles.

si j'avais j'aurais dit que dans ce cas
mais dans mon premier exemple je vois pas comment me débarrasser de l'intégrale :triste:

Bien. Dans ton cas qu'as tu trouvé comme différentielle ? Effectivement, on ne peut pas identifier le gradient comme dans l'exemple précédent. Néanmoins, en réécrivant l'équation variationnelle fournit par le théorème de représentation de Riesz tu peux trouver que le gradient est solution faible d'une équation.

Edit : je viens de regarder le sujet et notamment la question du calcul du gradient, vu comme la question est posé, je pense qu'il est attendu seulement le calcul de la différentielle et de la différentielle seconde, qu'il confond sans doute par abus de langage comme étant le gradient et la différentielle. Il est demandé si ces fonctionnelles sont continues c'est donc qu'il identifie implicitement le gradient et la différentielle et pareillement pour le hessien. Le gradient est un élément de alors que la différentielle est une forme linéaire et continue. Poser la question "le gradient est il continue ?" revient à identifier implicitement le gradient avec sa différentielle (je passe sous silence certaines choses pour pas trop compliqué les choses).

[bentaarito]

très bien. Merci beaucoup pour cette aide précieuse. Je vais essayer de finir l'exercice ce soir :zen:

[bentaarito]

ce qui est un peu bizarre c'est que j'ai déjà à calculer la différentielle première et seconde pour répondre à la question d'avant.. :/ mais bon

[mb_y019]

ce qui est un peu bizarre c'est que j'ai déjà à calculer la différentielle première et seconde pour répondre à la question d'avant.. :/ mais bon

I.e Pour montrer qu'elle est convexe ?

Y'a un peu plus simple, J n'est t-elle pas la somme de trois fonctionnelles convexes ?

[bentaarito]

ah oui c'est vrai que c'est plus rapide de voir ça comme une somme.
mais pour la alpha convexité , vu que la dernière fonctionnelle est simplement convexe, comment puis-je conclure?

[mb_y019]

ah oui c'est vrai que c'est plus rapide de voir ça comme une somme.
mais pour la alpha convexité , vu que la dernière fonctionnelle est simplement convexe, comment puis-je conclure?

C'est quoi la définition de l'alpha convexité ??

[bentaarito]

c'est la même chose que la forte-convexité. Tu peux lire ici
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,494163,494389,quote=1