Fonction logarithme

[George150]

Bonjour j'ai un exercice à faire pour la rentrée :

On considère la suite (u) = + + ... +

1. Calculer U, U, U, U

2. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : U - U =
En déduire le sens de variation de cette suite

3.a. Soit f la fonction définie sur ]0, +[ par : f(x) = ln (x) - (x-1)
Etudier les variations de f et montrer que pour otut réel x > 0, ln x x-1
b. En utilisant le changement de variable X = 1/x dans l'inégalité précédente, montrer que pour tout réel x > 0 : 1 - \ ln x
c. Déduire des 2 questions précédentes que pour tout entier naturel non nul p : ln*()

4. n désigne un entir naturel non nul.
a. Ecrire un encadrement du 3.c. pour toutes les valdeurs de p allant de n à 2n-1.
b. En addionnant membre à membre les inégalités obetnues, démontrer que pour tout entier naturel non nul n : un ln 2 un +
c.En déduire un encadrement de ln 2 - un et pouver que la suite (un) converge vers ln 2


1.J'ai trouvé U =
U =
U =
U =



2.U(n+1)=++...+++
donc U(n+1)-Un=+-
=-

=

=

donc U(n+1)-Un>0 donc Un est croissante

3.a f'(x) = 1/x - 1
1/x -1 = 0 pour x = 1
1/x -1 0
1/x -1 > 0 pour x 0, ln x x-1

[Carpate]

Bonjour j'ai un exercice à faire pour la rentrée :

On considère la suite (u) = + + ... +

1. Calculer U, U, U, U

2. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : U - U =
En déduire le sens de variation de cette suite

3.a. Soit f la fonction définie sur ]0, +[ par : f(x) = ln (x) - (x-1)
Etudier les variations de f et montrer que pour otut réel x > 0, ln x x-1
b. En utilisant le changement de variable X = 1/x dans l'inégalité précédente, montrer que pour tout réel x > 0 : 1 - \ ln x
c. Déduire des 2 questions précédentes que pour tout entier naturel non nul p : ln*()

4. n désigne un entir naturel non nul.
a. Ecrire un encadrement du 3.c. pour toutes les valdeurs de p allant de n à 2n-1.
b. En addionnant membre à membre les inégalités obetnues, démontrer que pour tout entier naturel non nul n : un ln 2 un +
c.En déduire un encadrement de ln 2 - un et pouver que la suite (un) converge vers ln 2


1.J'ai trouvé U =
U =
U =
U =



2.U(n+1)=++...+++
donc U(n+1)-Un=+-
=-

=

=

donc U(n+1)-Un>0 donc Un est croissante

3.a f'(x) = 1/x - 1
1/x -1 = 0 pour x = 1
1/x -1 0
1/x -1 > 0 pour x 0, ln x x-1

sur
Quand ,
Quand ,
f'(x) >0 sur ]0;1] s'annule en 1 puis est négative
f(x) croit de à f(1)= 0 puis décroit donc est négative sur

[George150]

sur
Quand ,
Quand ,
f'(x) >0 sur ]0;1] s'annule en 1 puis est négative
f(x) croit de à f(1)= 0 puis décroit donc est négative sur

Okey donc on peut dire grâce à ton message que pour tout x f(x) < 0 donc In (x) x-1 Il y a besoin encore de justifier ou c'est bon ?

[Carpate]

Okey donc on peut dire grâce à ton message que pour tout x f(x) < 0 donc In (x) x-1 Il y a besoin encore de justifier ou c'est bon ?

Il résulte de l'étude des variations de f(x) qu'elle admet, sur , un maximum nul (en x = 1) donc

[George150]

Il résulte de l'étude des variations de f(x) qu'elle admet, sur , un maximum nul (en x = 1) donc

K merci et pour le 3b. avec le changement de variable j'obtiens :
= car ln (\frac{1}{x})
=

Je viens de remarquer après ce que j'ai fait que ce n'est pas correct vu que ln (x) est une fonction
Peux-tu m'aider ? car je vois pas trop comment faire

[George150]

Ah non c'est bon en faite je viens de savoir que ln = -ln donc on a :

=
=

[George150]

Pourrais-tu me guider pour la 3c ? car je ne vois pas trop comment m'y prendre

[Carpate]

Pourrais-tu me guider pour la 3c ? car je ne vois pas trop comment m'y prendre

De 3-a) et 3-b), on tire :
En posant , on obtient :