Exercice corrigé, besoin d'explication

[swedishgirl]

Bonjour

Je serais reconnaissante pour de l'aide à comprendre cet exercice que j'ai fait aujourd'hui a la fac. (L1 economie gestion)

a) Montrer que l'équation admet une seule racine réelle appartenant à [0;3]. (ne pas calculer cet racine)

Solution: On pose:


On met une tabeau: La dérivée de f(x) est positive entre 1 et 3. On met:


F est continue et strictement croissante sur [1;3]
3 appartient à [f(0);f(3]

D'après le théroème des valeurs intermediaires, il existe une seule solution de f(x)=3 dans [0;3]

Ma question:
Que veut dire une seule racine? dans cet intervalle?
Pourquoi est cela prouvé avec la dérivée?

J'aimerais bien comprendre...

Merci beaucoup d'avance

cordialement

[XENSECP]

Théorème des valeurs intermédiaires... niveau terminale

[swedishgirl]

Merci beacoup, tres utile.

[XENSECP]

Non mais sérieusement, cherche ce qu'est ce théorème si ça te parle pas ;)

[swedishgirl]

Que veut dire racine? c'est une solution? Ou...? Alors, je connais le théoreme. J'ai des difficultés de langue, je ne suis pas française. Je ne comprend pas pourquoi on a choisi de faire le theoreme des valeurs intermediaires ici, alors que ici non:

b) montrez que la fonction n'a pas plus de 2 racines si n est pair, et pas plus de 3 racines si n est impair.

Nous trouvons les racines en mettant





n est pair, alors n-1 est impair.
f' a une racine

f' change de signe une fois.

[chan79]

Bonjour

Je serais reconnaissante pour de l'aide à comprendre cet exercice que j'ai fait aujourd'hui a la fac. (L1 economie gestion)

a) Montrer que l'équation admet une seule racine réelle appartenant à [0;3]. (ne pas calculer cet racine)

Solution: On pose:


On met une tabeau: La dérivée de f(x) est positive entre 1 et 3. On met:


F est continue et strictement croissante sur [1;3]
3 appartient à [f(0);f(3]

D'après le théroème des valeurs intermediaires, il existe une seule solution de f(x)=3 dans [0;3]

Ma question:
Que veut dire une seule racine? dans cet intervalle?
Pourquoi est cela prouvé avec la dérivée?

Bonjour
Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que si une fonction est continue sur un intervalle [a,b], alors, pour tout nombre n compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un nombre m appartenant à [a,b] tel que f(m)=n.
Ici, f(x)=
on prend a=0 et b=3 et n=3
f est continue (à préciser obligatoirement)
f(0)=0
f(3)=
0<3<
Il existe donc une valeur m de [0,3] telle que f(m)=3
soit =3
De plus, cette valeur est unique car f est strictement croissante sur [0,3].
C'est abscisse du point I.
[img][IMG]http://img593.imageshack.us/img593/1450/44399366.gif[/img]

[Doraki]

oui, racine d'une équation ça veut dire la même chose que solution d'une équation.
tu peux échanger les deux mots.

[Anonyme]

@swedishgir

Il existe 2 théorèmes différents qui permettent
de prouver l'existence de solutions à une équation donnée qui est de la forme ( équation (E) )
avec une fonction de la variable réelle , et un nombre réel donné

Résoudre cette équation (E) : revient à trouver tous les antécédents par la fonction du nombre

Remarque 1 :
Si on pose alors l'équation (E) s'écrit : équation (E1)
( cette nouvelle équation (E1) "est équivalente" à (E) )

Ceci explique pourquoi on traite dans la plupart des livres de maths uniquement les équations du type (E1)

Remarque 2 :
La recherche de tous les antécédents par la fonction du nombre
s'appelle également
- soit trouver les solutions de l'équation (E1)
- soit trouver les racines de l'équation (E1)

Exemple :
Soit g une fonction réelle continue sur l'intervalle [a,b] ( inclus dans IR )
Si g(a) 0 alors le théorème de valeurs intermédiaires ( TVI ) permet d'écrire :

il existe au moins une valeur telle que

On dit que est une solution (ou est une racine) de l'équation (E1)

Si de plus la fonction g est une fonction dérivable sur l'intervalle [a,b] , strictement monotone
alors est une bijection de [a,b] sur [g(a),g(b)] ( dans le cas où la fonction g est strictement croissante)

Alors le théorème "de la bijection" permet d'écrire :

il existe une et une seule valeur telle que



J'espère que ce petit récapitulatif sur ces 2 théorèmes va t'aider à mieux comprendre leur différence...

et je te souhaite une bonne année 2013 et le meilleur dans la poursuite des tes études

A+


ps)
Prouver l'existence de solutions à l'équation (E1) ne veut pas dire qu'on est capable de les calculer !
Le calcul des solutions à une équation est un autre sujet...

[swedishgirl]

Bonjour
Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que si une fonction est continue sur un intervalle [a,b], alors, pour tout nombre n compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un nombre m appartenant à [a,b] tel que f(m)=n.
Ici, f(x)=
on prend a=0 et b=3 et n=3
f est continue (à préciser obligatoirement)
f(0)=0
f(3)=
0<3<
Il existe donc une valeur m de [0,3] telle que f(m)=3
soit =3
De plus, cette valeur est unique car f est strictement croissante sur [0,3].
C'est abscisse du point I.
[img][IMG]http://img593.imageshack.us/img593/1450/44399366.gif[/img]

MERCI. Mon problème été de comprendre quelle est "à" "b" et le "m" et "n" merci c'est très clair maintenant.

[swedishgirl]

Merci:) : )