Exercice prolongement par continuité

[gamelle]

Bonjour, j'ai un exercice à faire est ce que vous pouvez me dire si mes réponses sont correctes,

1.(a) Montrer que l’ensemble D = {(x, y) , xy > 1} est un ouvert de .
(b) En déduire que D* = D \ {(0, 0)} est aussi un ouvert de .
(c) Représenter graphiquement D*.
2. Considérons désormais l’application
.
(a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f.
(b) Montrer que f est continue sur Df .
(c) L’application f est-elle prolongeable par continuité en (0, 0) ?


1) a) D = {(x, y) , xy > 1}
f:(x,y)->xy est continue et ]-1;+[ est un ouvert donc D=(]-1;+) est un ouvert

b)D*=D{(x, y) , y 0}{(x, y) , x 0}

soient D1={(x, y) , y 0} et D2={(x, y) , x 0}

f:(x,y)->x est continue est R* est un ouvert donc D1=() est un ouvert
f:(x,y)->y est continue est R* est un ouvert donc D2=() est un ouvert

par conséquent D* est un ouvert comme intersection finie d'ouverts.

2)

a)(f(x) existe)( 1+xy>0 et x^2+y^2 0)(xy>-1 et x 0 et y 0)

=>l'ensemble de définition Df est D*

b) (x,y)->ln(1+xy) est continue sur D donc elle est continue sur D*
(x,y)-> est continue sur donc sur D et s'annule en (0,0) , par passage à l'inverse est continue sur D*, par produit f est continue sur D*

c)Soient {(1/n,0)}nN*et {(1/n,1/n)}nN* deux suites convergent vers (0,0)

f(1/n,0)=0
-->1/2 lorsque 1/n->0

donc l'application n'est pas prolongeable par continuité en (0,0)

je ne suis pas convaincu par mes réponses surtout la 2)b) et la 2)c).

merci d'avance

[Zapotek]

1) b) tu te casses la tête pour rien. {(0,0)} est fermé donc de complémentaire ouvert. Or D\{(0,0)} = D inter {(0,0)}^c. L'intersection fini d'ouvert est ouvert.

Sinon ça me semble bon dans l'ensemble.

[gamelle]

1) b) tu te casses la tête pour rien. {(0,0)} est fermé donc de complémentaire ouvert. Or D\{(0,0)} = D inter {(0,0)}^c. L'intersection fini d'ouvert est ouvert.

Sinon ça me semble bon dans l'ensemble.

Ok ok je te remercie