Espace vectoriel

[nsa]

Bonsoir,
j'ai une question. J'aimerais savoir si le cardinal est égal a la dimension alors la famille est génératrice?
merci d'avance

[Nightmare]

Salut,

si tu prends le même vecteur répété, alors tu auras beau en mettre autant que tu veux, ta famille ne sera pas génératrice.

[nsa]

donc si les vecteurs sont différents et que le cardinale et la dimension sont égaux on dit que la famille est libre?

[Nightmare]

Non plus, prend des vecteurs colinéaires entre eux deux à deux. Là encore tu peux en mettre autant que tu veux, ça ne te fera pas une famille libre.

Une chose qu'on pourrait dire dans ce style, c'est qu'une famille qui a strictement plus d'éléments que la dimension de l'espace est forcément liée.

Un autre théorème fort aussi est qu'une famille libre, ou génératrice, de cardinal la dimension de l'espace est nécessairement une base.

[nsa]

Soit F = {(x; y; z) appartenant à R3 / x = y = z} et G = {(0; y; z) appartenant a R3/ y,z appartenant a R²}
Je dois montrer que F+G = R3.
J'utilise un vecteur u(x,y,z) appartenant a R3. J'ai montré qu'il existe un vecteur v appartenant a F et un vecteur w appartenant a G tel que u=v+w.
Mais la j'obtiens (x,y,z)=u et v+w=(x,x,x)+(0,y,z) et quand je fais l'addition c'est différent de u.
Vous pouvez m'indiquer mon erreur? Merci

[nsa]

up s'il vous plait

[chan79]

up s'il vous plait

Salut
Tu peux trouver une base de R³ formée d'un vecteur de F et de deux vecteurs de G.

[nsa]

dans la correction un vecteur w appartenant a G a pour coordonnée (0,y-x,z-x)
je comprend pas il sort d'où le -x

[chan79]

dans la correction un vecteur w appartenant a G a pour coordonnée (0,y-x,z-x)
je comprend pas il sort d'où le -x

soit (x,y,z) (1,1,1) (0,1,0) =(0,0,1)
trouve, en fonction de x, y et z, les réels m, n et p tels que =m.+n.+p.
tu poses =n.+p.