Algèbre Bijectivité

[Hestia_mina]

Bonsoir à tous,

On considère l'application linéaire suivante :
f: R^2 --> R^3
(x,y) -->f(x,y)=(x+y,x+y,x+y)

1\ f est-elle bijective ?
2\ Trouver A et B les plus grands ensembles possibles pour avoir
g: A-->B
(x,y)-->g(x,y)=(x+y,x+y,x+y) .


Pour la première question, il est évident que f n'est pas bijective, car f(x,-x) = 0 donc le noyau n'est pas réduit au vecteur nul, ou encore f(x,y)=f(y,x) alors qu'en général on a (x,y) différent de (y,x)... --> f n'est pas injective.
f n'est pas surjective non plus car f(x,y)=(x+y)(1,1,1) on peut dire que l'ensemble d'arrivé est engendré par le vecteur (1,1,1) seulement donc différent de R^3

Pour la deuxième question je bloque un peu,
pour B je pense qu'il faudra prendre l'ensemble B={(x,y,z)/x=y=z}=[v] avec v=(1,1,1)
Pour A Il faudrait déjà prendre peut être seulement les nombres positifs pour ne pas avoir le cas du (x,-x),mais pour ne pas tomber sur les cas du genre f(2,4)=f(3,3) j'avais pensé prendre l'ensemble {(x,y)/ ySi quelqu'un pourrait me répondre svp,
Merci infiniment =)

[leon1789]

2\ Trouver A et B les plus grands ensembles possibles pour avoir
g: A-->B
(x,y)-->g(x,y)=(x+y,x+y,x+y) .

c'est quelle application g ?

[leon1789]

2\ Trouver A et B les plus grands ensembles possibles pour avoir
g: A-->B
(x,y)-->g(x,y)=(x+y,x+y,x+y)

Disons A=R^2 et B=R^3 et on obtient f=g !

Il doit manquer un bout de l'énoncé, car la question ainsi posée n'a pas réellement de sens...

[Hestia_mina]

Oups ! oui j'ai oublié, a condition que g soit bijective

[leon1789]

Oups ! oui j'ai oublié, a condition que g soit bijective

...un petit détail en effet ! :lol3: :ptdr:

Tu as donc bien déterminé l'ensemble B maximal : c'est la droite engendrée par (1,1,1), ok !

g doit être bijective, donc quelle est la nature (la dimension si tu préfères) de A ?

[Hestia_mina]

je dirais 1 si on utilise de théorème du rang :
dim A = dim kerf + dim Im f
dim Im f = dim B= 1
dim ker f =0
donc dim A = 1
je ne sais pas si c'est juste ou pas :hein:

[leon1789]

je ne sais pas si c'est juste ou pas :hein:

/!\ En écrivant g à la place de f :
dim A = dim ker g + dim Im g (faux avec f , car A n'est pas l'ensemble de départ de f)
dim Im g = dim B = 1
dim ker g =0 (faux avec ker f, tu as bien vu que le noyau de f est non nul)
donc dim A = 1


Ok, A est aussi une droite, disons dirigée par un vecteur v non nul. Il ne faut pas que son image g(v) soit nulle (puisque g est supposée bijective).
Connais-tu un vecteur (x,y) tel que (x+y,x+y,x+y) ne soit pas nul ?

[Hestia_mina]

et si on prenait g au lieu de f alors ?
edit : oui oui c'est ce que je voulais dire

pour ce qui est du vecteur v n'importe lequel ferait l'affaire a condition qu'il ne soit pas combinaison de (1,-1)

[leon1789]

et si on prenait g au lieu de f alors ?
edit : oui oui c'est ce que je voulais dire

pour ce qui est du vecteur v n'importe lequel ferait l'affaire a condition qu'il ne soit pas combinaison de (1,-1)

Qu'appelles-tu une combinaison d'un seul vecteur ?

Oui, il suffit de prendre v non colinéaire à (1,-1) : par exemple v = (1,0) et puis A la droite engendrée par v. Alors g : A --> B est bien bijective (et se simplifie en g(x,y) = (x,x,x) car y=0).

REMARK :
Pour B, il y a unicité de l'ensemble d'arrivée (droite dirigée par (1,1,1)),
mais pour A, il n' y a pas unicité : on a le choix du vecteur v, ce qui donne autant de droite A.

[Hestia_mina]

Qu'appelles-tu une combinaison d'un seul vecteur ?

Oui, il suffit de prendre v non colinéaire à (1,-1) : par exemple v = (1,0) et puis A la droite engendrée par v. Alors g : A --> B est bien bijective (et se simplifie en g(x,y) = (x,x,x) car y=0).

REMARK :
Pour B, il y a unicité de l'ensemble d'arrivée (droite dirigée par (1,1,1)),
mais pour A, il n' y a pas unicité : on a le choix du vecteur v, ce qui donne autant de droite A.

je sais pas si on peut le dire : v différent de : a* (1,-1) ( avec a scalaire quelconque) une combinaison linéaire en quelques sortes :hein:
Donc la bijectivité n'entraine pas l'unicité de l'ensemble de départ, et celui d'arrivé aussi en général ?

[leon1789]

je sais pas si on peut le dire : v différent de : a* (1,-1) ( avec a scalaire quelconque) une combinaison linéaire en quelques sortes :hein:

oui, c'est possible de le dire ainsi, en effet.

Donc la bijectivité n'entraine pas l'unicité de l'ensemble de départ, et celui d'arrivé aussi en général ?

Nan, là, tu "perds pieds" dans la conclusion que tu veux retenir de cet exo.
La question est "Trouver A et B les plus grands possibles tels que..."
Je fais simplement remarquer que, pour cette question dans cet exo, B est unique (tous les étudiants auront la même réponse), et A n'est pas unique. Cela étant dit, il ne faut pas que tu en retiennes un pseudo-résultat, c'est juste une remarque sur cet exo.

[Hestia_mina]

d'accord je vois =)
Merci beaucoup pour votre aide et vos remarques :we: