Polynôme d'endomorphismes

[Supernova]

Hey!

Pourriez-vous me répondre a cette question?:
Si où alors comment prouver que ?
J'ai essayer de factoriser le polynôme mais je n'ai pas pu.

Merci d'avance pour vos indications

[Zapotek]

Pas la peine de double poster ;)

Regarde l'équation sous un autre angle. A^3 - A - I = 0.

Connais tu les polynômes annulateur?

[Supernova]

J'ai essayé de supprimer l'autre post mais cette option n'est pas possible, de plus j'avais pas l'attention de double-poster, je voulais modifier le message mais je sais pas comment ceci est passé, je ne suis pas tellement idiote pour poster deux discussions successives avec les mêmes trucs XD

Anyway, je connais le polynôme minimal et annulateur .. l'idée c'est de chercher ses racines c ça? mais comment, par factorisation ou quoi?

Merci (:

[adrien69]

Mieux vaut que tu n'essaies pas de les chercher, sauf à vouloir te donner un gros mal de tête !
http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/prepas_fichiers/dg3.pdf

Cherche leur signe, ça sera bien plus simple

[Joker62]

Les racines d'un polynôme annulateur quelconque ne sont pas forcément les valeurs propres de la matrice.

[Zapotek]

Oui et non

La fonction f(x) = x^3 - x - 1 annule l'endomorphisme associé à A. Il faut alors utiliser la propriété qui dit que le spectre est inclus dans les racines du polynome annulateur

Maintenant tu n'arrives pas à factoriser.
D'après toi est-ce nécessaire? Cherche-t-on le déterminant ou son signe :)

[Supernova]

Effectivement Joker62 ce sont les racines du polynôme minimal qui sont les vp
@adrien69 et Zapotek: vous avez raison, c'est pas une bonne idée de chercher les vp, et merci pour le lien adrien.
on a non nul car sinon on aura ce qui absurde
mais jusqu'au moment j'ai pas pu faire qqxch avec cette égalité j'ai fais ou même mais je n'ai pas réussi à en déduire le signe du det :mur:

[Joker62]

Il faut vraiment chercher du côté des racines de x^3 - x - 1 qui est un annulateur de A

En tant que polynôme annulateur, les valeurs propres de A sont parmi ses racines.

[adrien69]

Bon Supernova, quel est le signe des racines de , et combien en a-t-il de réelles (enfin, la question est à faire dans l'autre sens) ?

(retour case terminale, faut juste faire un tchiot tableau de variations)

[Supernova]

Bon Supernova, quel est le signe des racines de , et combien en a-t-il de réelles (enfin, la question est à faire dans l'autre sens) ?

(retour case terminale, faut juste faire un tchiot tableau de variations)

Hmm.. elles sont positives j'ai fait le tableau de variations et j'ai trouvé que f admet une seule racine réelle (elle est > 1/V3) donc il admet deux autres racines complexes. donc det(A)>0 :p

[Supernova]

Bon Supernova, quel est le signe des racines de , et combien en a-t-il de réelles (enfin, la question est à faire dans l'autre sens) ?

(retour case terminale, faut juste faire un tchiot tableau de variations)

Hmm.. elles sont positives j'ai fait le tableau de variations et j'ai trouvé que ce polynôme admet une seule racine réelle (elle est > 1/V3) donc il admet deux autres racines complexes. donc det(A)>0 :p

[adrien69]

Hmm.. elles sont positives j'ai fait le tableau de variations et j'ai trouvé que ce polynôme admet une seule racine réelle (elle est > 1/V3) donc il admet deux autres racines complexes. donc det(A)>0 :p

Pourquoi ?
(c'est pas évident évident donc je préfère être sûr que tu as bien compris)

[Supernova]

Pourquoi ?
(c'est pas évident évident donc je préfère être sûr que tu as bien compris)

on peut écrire ce polynôme sous la forme avec garde un signe constant et c'est la racine réelle et on connait une expression explicite du sa valeur en 0 est donc ... zut! je dis des conneries :X

[adrien69]

on peut écrire ce polynôme sous la forme avec garde un signe constant et c'est la racine réelle et on connait une expression explicite du sa valeur en 0 est donc ... zut! je dis des conneries :X

Un peu ^^

Bon ton polynome annulateur est de degré 3 et n'a qu'une racine réelle. On en déduit qu'il a une racine réelle (supérieure à 1/V3 ici) et deux racines complexes, non réelles, conjuguées. Si j'appelle ces racines z et y et m et n leurs multiplicités respectives dans le spectre de A, est-ce que tu peux me donner une relation entre m et n ?

[Supernova]

Un peu ^^

Bon ton polynome annulateur est de degré 3 et n'a qu'une racine réelle. On en déduit qu'il a une racine réelle (supérieure à 1/V3 ici) et deux racines complexes, non réelles, conjuguées. Si j'appelle ces racines z et y et m et n leurs multiplicités respectives dans le spectre de A, est-ce que tu peux me donner une relation entre m et n ?

n=m car conjuguées

[adrien69]

n=m car conjuguées

n=m car conjugué ET le spectre de A est réel (ça s'écrit : si a est ta racine réelle et b sa multiplicité) on a ba+ny+mz € R, donc Im(ba+ny+mz)=nIm(y)+mIm(z)=0 or Im(y)=-Im(z) CQFD


Donc maintenant avec toutes ces notations comme s'exprime le déterminant ?

[Supernova]

le spectre de A est réel (ça s'écrit : si a est ta racine réelle et b sa multiplicité) on a ba+ny+mz € R

Ah bon je ne savais pas ça!

Le déterminant s'écrit et c'est positif :doute:

[adrien69]

Ah bon je ne savais pas ça!

Le déterminant s'écrit et c'est positif :doute:

Ben ta matrice A est réel, donc sa trace est réelle non ?

AAHHHHH MEEERRDE J'AI MIS SPECTRE !!! JE VOULAIS DIRE TRACE !!!!

et det A c'est pas vraiment ça.

[Supernova]

Ben ta matrice A est réel, donc sa trace est réelle non ?

AAHHHHH MEEERRDE J'AI MIS SPECTRE !!! JE VOULAIS DIRE TRACE !!!!

et det A c'est pas vraiment ça.

ce sont forcément des racines simples

[Supernova]

Ben ta matrice A est réel, donc sa trace est réelle non ?

AAHHHHH MEEERRDE J'AI MIS SPECTRE !!! JE VOULAIS DIRE TRACE !!!!

et det A c'est pas vraiment ça.

ce sont forcément des racines simples maintenant avec la trace c'est ok