Calcul d'un determinant

[Hestia_mina]

Salutations à tous,
calculer le déterminant :
|a 1 1 1 1 1 1|
|1 0 1 1 1 1 1|
|1 1 a 1 1 1 1|
|1 1 1 0 1 1 1|
|1 1 1 1 a 1 1|
|1 1 1 1 1 0 1|
|1 1 1 1 1 1 a|

En espérant ne pas m'être trompée,j'ai trouvé que c'est égal à 2(3-a)(1-a)^3 après de longs calculs...
En utilisant la forme théorique du déterminant, on peut montrer que c'est un polynôme d'ordre 4 en a, qui admet 1 comme racine,mais le problème est que 1 est une racine d'ordre de multiplicité 3,et aussi il faudrait démontrer que le coèf du plus haut degré est 2 et que 3 est aussi une racine, j'aimerais savoir si c'est faisable, ou alors s'il y a une autre méthode bcp plus simple.
Merci =)

[lionel52]

En enlevant la 1ere colonne aux autres colonnes on doit calculer

|a
|1 -1
|1 0 a-1
|1 0 0 -1
|1 0 0 0 a-1
|1 0 0 0 0 -1
|1 0 0 0 0 0 a-1|

qui vaut directement a(1-a)³

[eilimee1229]

Bonjour à tous, :we:
je suis désolée de déranger... J'ai besoin d'aide pour un calcul de factorisation que j'ai à faire pour la rentrée et je n'y arrive pas... Je suis vraiment nulle en maths... Si vous pouviez m'expliquez comment faire je vous serai très reconnaissante .
Merci d'avance :triste:

Voilà le calcul:

(5*x-1)*(3*x+2)+25*x²-1

Je me suis dit, qu'il fallait sans doute utiliser des facteurs communs? ou peut-être les identités remarquables? Mais malgré toutes mes tentatives, je suis malheureusement arrivée à des résultats très peu concluants... :mur:

[Hestia_mina]

En enlevant la 1ere colonne aux autres colonnes on doit calculer

|a
|1 -1
|1 0 a-1
|1 0 0 -1
|1 0 0 0 a-1
|1 0 0 0 0 -1
|1 0 0 0 0 0 a-1|

qui vaut directement a(1-a)³

Mais il n'y a pas de zéros sous la diagonale(pour la première colonne) pourquoi ça serait égal au produit des éléments diagonaux ?!

[lionel52]

OK j'ai dit n'importe quoi

[Hestia_mina]

J'avais fait les combinaisons suivantes :
la première ligne L1 devient -> L1-L3
la 2ème -> L2-L4
..
La 5ème -> L5-L7
et j'ai pas touché à la 6ème et 7ème
ça donnerait :
a- 1 0 1-a 0 0 0
0 -1 0 0 1 0 0
0 0 a-1 0 1-a 0 0
0 0 0 -1 0 0 0
0 0 0 0 a-1 0 1-a
1 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 a

et puis j'ai utilisé les 5 premières lignes pr avoir des zéros dans la 6ème et 7 ème ligne, j'ai trouvé :

-1 0 1 0 0 0 0
0 -1 0 1 0 0 0
0 0 -1 0 1 0 0
0 0 0 -1 0 1 0 *(1-a)^3
0 0 0 0 -1 0 1
0 0 0 0 0 2 4
0 0 0 0 0 3 a+3

en Utilisant une propriété qu'on avait démontré dans un autre exo, c'est égal au produit du déterminant de la matrice formée par les (5 1ères lignes et 5ères colonnes)( qui est égal au produit des éléments diagonaux) fois le déterminant de la 6ème et 7ème ligne,6ème 7ème colonne :
|2 4
|3 a+3


Ce qui donne: 2(3-a)(1-a)^3 :doh:
mais y aurait-il une méthode plus simple ? :hein: