Je relance un post qui commence à sombrer. Je vous repose le problème et les avancées qu'on a pu trouver avec les membres du forum.
Pour tout a appartenant à ]0;1], je considère la fonction
J'aimerais montrer que si a appartient à ]0;1[, alors
Si a=1, c'est un poil différent.
L'idée que l'on m'a suggéré est de montrer que si z est un zéro de f_a, alors f'_a(z)<0. Montrer l'existence d'au moins un zéro n'est pas compliqué. De plus, le résultat que l'on m'a suggéré de montrer impliquerait automatiquement l'unicité de ce zéro.
L'idée est d'exprimer f'_a(z) en fonction de exp(az) en utilisant le fait que f_a(z)=0.
On tombe alors sur un polynôme en exp(az).
Le polynôme à étudier est:
Le discriminant est:
Le discriminant est donc strictement négatif si et seulement si
C'est le cas où la conclusion est immédiate.
Le discriminant est positif si et seulement si
Dans ce cas là, je suis un peu embété parce qu'il n'est pas évident de montrer comment est placé exp(az) par rapport aux racines.
Si quelqu'un a une idée, je suis plus que prenneur. J'ai vraiment besoin de réussir à montrer ce truc là.
Merci d'avance.
@+ Boris.