Sp(A-tA) Réel, Mq A symétrique.

[Don vito]

Bonsoir ,
J'ai besoin d'aide svp pour cette question
Soit A appartenant a Mn(R) tq les valeurs propres de tA-A sont réelles. Mq A est symétrique

Merci

[adrien69]

Tu parles bien de la transposée pour tA ?

[adrien69]

Oui à mon avis c'est le cas. Tu connais la théorie des endomorphismes autoadjoints ?

[Don vito]

Enfait oui mais ça fait longtemps que j'ai plus revu, avec les produits scalaires et tout

[lionel52]

En fait tu remarques que A - tA est une matrice antisymétrique, et les seules valeurs propres réelles possibles d'une matrices antisymétrique c'est 0. ( = k|x|² = = -k|x|²). Donc 0 est la seule valeur propre de A - tA. Soit A - tA = 0 soit A - tA n'est pas diagonalisable dans Mn(C)

Sauf qu'il existe un théorème qui dit que toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable dans Mn(C) donc...

[Don vito]

l'extension que tu fais parait etre tres interessante; mais deja la reponse à la question a été donné soit A=tA.Je te remercie infiniment.Mais il n'y a rien de contradictoire puisque zero est une matrice diagonale ! :)
pourrais tu juste me rappeler ( = k|x|² = = -k|x|² ) le k c le max des abs des vals propre qlq chose comme ça , un petit rappel serait le bien venu ^^

[Matt_01]

Considère M = tA - A.
Maintenant tu as M=-tM, et essaye de trouver quelque chose en manipulant un polynôme annulateur de M (qui par hypothèse n'a que des racines réelles).
EDIT : Bon la réponse a des déjà été donné mais en considérant P(M)+tP(M) on a un polynôme en M² avec la partie en In positive (déterminant positif), et donc ne s'annulant pas sur les réels, sauf potentiellement en 0.

[Don vito]

Merci Matt_01 meme si je n'ai pas bien compris le dernier passage à savoir le determinant positif.Donc : la matrice est inversible , apres...?
Eclaire ma lanterne ;)

[lionel52]

Mmmh tu n'as pas bien compris mon post je crois.

Quand je disais soit M = 0 soit M est non diagonalisable c'est soit l'un soit l'autre

En effet si une matrice n'admet qu'une valeur propre elle est diagonalisable si et seulement si c'est déjà un multiple de In.
(A = P^(-1)diag(a,a,...,a)P = diag(a,..a) = aIn)



Mais comme un théorème te dit que M antisymétrique implique que M est diagonalisable dans Mn(C) ça signifie donc que l'on est dans le 1er cas, M = 0


Et k c'était juste la valeur propre réelle associée à x

[Don vito]

ok merci léo ;)

[Don vito]

une question bête mais qu'y faire, pour dire que (Ax;x)=(x;tAx) , transposée auto adjoint, ou A ...??