Corps finis

[dawad]

Bonsoir à tous, amis mathématiciens.
Je suis en train d'étudier un théorème sur les corps finis dont la démonstration me semble ma foi bien particulière.

"Il existe, à isomorphisme près, un unique corps de cardinal p²."

Démonstration:
"Soit F = /p
Supposons p=2. Le polynôme X²+X+1 F[X] étant irréductible sur F, l'anneau F=F[X]/(X²+X+1) est donc un corps à 4 éléments. Puisqu'il n'existe qu'un seul polynôme irréductible de degré 2 de F[X], le corps F est donc le seul corps à isomorphisme près de cardinal 4.
Supposons désormais p impair. Il existe p(p-1)/2 polynômes irréductibles unitaires de degré 2 dans F[X]. Il existe donc des corps à p² éléments.
Vérifions l'unicité annoncée. Considérons pour cela deux corps de cardinal p². Il s'agit de montrer qu'ils sont isomorphes, autrement dit, que si U et V sont deux polynomes irréductibles unitaires de degré 2 dans F[X], les corps
K=F[X]/(U) et K'=F[X]/(V)
sont isomorphes. Posons U = X²+bX+c F[X]. Puisque p est impair, on a l'égalité U = (X+b/2)² - (b²-4c)/4,
ce qui permet de se ramener au cas où U et V sont de la forme U=X²-d et V=X²-d',
avec d et d' deux éléments de F qui ne sont pas des carrés dans F[X]. Posons = X + (U) K
et ' = X + (V) K'.
On va démontrer que d' K²,
i.e. qu'il existe K tel que ²=d'.
Cette assertion entraine le résultat. En effet, une fois cette condition démontrée, on vérifie alors que l'application : K' --> K définie par (a+b') = a+b,
est un isomorphisme de corps, de K sur K'. (c'est un homomorphisme de corps, il est donc injectif,puis surjectif car K et K' ont le même cardinal). On cherche ainsi x et y dans F tels que l'on ait d'=(x+y)².
Compte tenu du fait que (1,) est une base de K sur F, on obtient les relations
d'=x²+dy² et 2xy=0.
On a 20 car p est impair, et nécessairement y0, car d' n'est pas un carré dans F. Par suite, x doit être nul, et tout revient donc à montrer qu'il existe y F tel que y²=d'/d.
autrement dit, à montrer que le produit dd' est un carré dans F (d'après le lemme disant que le produit de deux éléments de F*, qui ne sont pas carrés dans F*, est un carré dans F*."

Comprenez vous l'intérêt de démontrer que d' K²?
Et voyez vous pourquoi dans le calcul de d'=(x+y)² on a ²=d
Dans un second temps je ne comprends pas très bien ce qui nous permet de conclure que est injective et l'obtention de l'égalité de U par l'imparité de p.

Merci bien et bon courage

[adrien69]

Salut,

*pan*

J'ai rien compris à la démo...
Tu as spécifiquement besoin de cette démo ? Parce que j'en ai une un peu moins violente au fond de ma besace...

[dawad]

Salut,

*pan*

J'ai rien compris à la démo...
Tu as spécifiquement besoin de cette démo ? Parce que j'en ai une un peu moins violente au fond de ma besace...

Et je la lirai avec plaisir.
Je trouve celle ci assez barbare aussi.

[adrien69]

Bon l'idée c'est de se ramener aux deux cas E=(Z/pZ)x(Z/pZ) qui est un corps et F=Z/p²Z qui n'en est pas un.

Soit donc un corps K de cardinal p².

A fortiori il s'agit d'un groupe additif d'ordre p². Là on a un théorème (bourrin que je n'utiliserai donc pas) qui nous dit que le corps est isomorphe soit à E soit à F.

En effet, on a si (K,+) est cyclique K est isomorphe à Z/p²Z,
Sinon, si on considère a non nul dans K et H=, |H|=p
Soit b non nul dans K\H on pose G=
On a aussi |G|=p
De plus il est immédiat que l'intersection de G et H est triviale et que |K|=p²=|G|.|H|
On en déduit dès lors que K est isomorphe en tant que groupe à GxH
Or G et H sont cycliques (de cardinal premier) et distingués car K est abélien (corps) donc isomorphes à Z/pZ

On en déduit que K ne peut être isomorphe qu'à E ou à F en tant que groupe, donc en tant que corps.
Or F n'est pas un corps. Donc K ne peut être isomorphe qu'à E qui est donc bien le seul corps d'ordre p² qu'on puisse trouver (à isomorphisme près).

CQFD.

[Nightmare]

Salut,

la preuve n'est pas très bien détaillée, mais on comprend d'où elle vient lorsqu'on souhaite justement la détailler.

En particulier, pour le coup de d' est un carré dans K, on le comprend lorsqu'on veut construire un isomorphisme de corps entre K et K'. Particulièrement, si l'on veut que w soit un morphisme multiplicatif, on voit vite que l'image de alpha' doit être un carré.

Effectue le calcul et celui de .

Le premier vaut
Le deuxième vaut

Si l'on veut envoyer sur et qu'on veut un morphisme de corps, il faut nécessairement que .

[Nightmare]

Pour le coup de (que j'ai utilisé aussi dans mon calcul précédent), c'est par définition même du produit de deux classes dans un anneau quotient :

(a+(U)).(b+(U))=ab+(U)

En particulier, (X+(U))²=X²+(U)

Mais comme X²=U+d, X²+(U)=d+(U)

[Nightmare]

Pour finir, l'injectivité n'est pas contextuelle : Tout morphisme de corps est injectif. En effet son noyau est un idéal du corps, et les seuls idéaux d'un corps sont lui-même et {0}.

Il n'est pas possible que le noyau soit le corps tout entier (par exemple parce que 1 est envoyé sur 1) donc la seule possibilité est {0}, et le morphisme est donc injectif.