Term S Fonctions: dérivée

[mayou_84]

Bonjour,

Me préparant à un concours après ma terminale S, je me penche durant ces vacances sur des exercices de mathématique. Je me suis penchée depuis deux jours sur un exercice qui ne relève pas d'une difficulté énorme, pourtant, je me retrouve bloquée dés la première question. :hum: J'aurai besoin d'une âme charitable qui veuille bien m'aider dans la résolution de cette exercice.(je ne demande pas qu'on fasse l'exercice à ma place) Voici l'énoncé:

On considère la fonction définie sur [0;4] par:

f (x) = racine de x(4-x).

On note Cf sa courbe représentative dans un repère.

1. Démontrer que la fonction f est dérivable sur l'intervalle ]0;4[ et donner l'expression de sa dérivée f' sur cet intervalle.

2. Démontrer que f n'est dérivable ni en 0 ni en 4.

3. Etudier les variation de la fonction f.

Le reste, je pense pouvoir me débrouiller, si quelqu'un peut m'aider pour le début...En espérant pouvoir résoudre cet exercice au plus vite pour pouvoir poursuivre mes révisions ^^ !


Ma réponse (mais je reste très incertaine):

Dérivée f'(x) = (2(1-(x/2))) / racine de (x(4-x))
Je suppose que la formule à utiliser est : racine (u)'= u'/ (2(racine (u)))

Merci d'avance et joyeux noël (il n'est jamais trop tard..)!

[Kikoo <3 Bieber]

Salut !

Et comment montres-tu qu'elle est dérivable sur l'ensemble considéré, cette fonction ?

[mayou_84]

Justement, je n'en ai pas la moindre idée....

[mayou_84]

f est une fonction racine carrée , si x = 0 alors f(0) = 0 or une dérivée de racine carré ne peut pas être égale à O ...?

[Kikoo <3 Bieber]

Alors on procède comme ceci :

Le radicande est dérivable sur R.
Le radicande est positif sur l'intervalle d'étude. Donc la racine est définie sur l'intervalle d'étude. Une fonction composée d'une fonction dérivable sur l'intervalle d'étude, et d'une fonction racine carrée est dérivable sur notre intervalle d'étude.

[mayou_84]

je n'ai pas vu "le radicande"....normal ? Du coup, ton explication m'est un peu floue (désolé vraiment)

[Kikoo <3 Bieber]

je n'ai pas vu "le radicande"....normal ? Du coup, ton explication m'est un peu floue (désolé vraiment)

Le radicande c'est ce que contient la racine.

[mayou_84]

c'est x(4-x) en fait ?

[mayou_84]

et on parle bien de la première question ? ^^

[Kikoo <3 Bieber]

Tout à fait ;)

[mayou_84]

ooook! Moi je me disais f est une fonction racine carrée , si x = 0 alors f(0) = 0 or une dérivée de racine carré ne peut pas être égale à 0...
Le dénominateur ne peut pas être nulle. Donc 0 étant exclu , ca marche ?? Si x = 4 f(4)= 0 mais la dérivée ne serait pas nulle qu'au dénominateur, elle le serait au numérateur aussi et 0 /0 = 0 et donc...ça marche aussi x)

Et ensuite décortiquer tla fonction comme f(x) = 4x - x² en développant je pense
u = 4x - x² et u' = 4-2x
f'(x) = u'(x) / 2 Racine u(x) = -2x -4 / 2* 4x -2

enfin sinon je vois pas comment continuer sans ça ;)

[mayou_84]

d'accord...oui je viens de reporter ça par écrit histoire de bien comprendre et effectivement, c'est bien clair! merci beaucoup! mais pour la 2 alors, il faut juste remplacer x par 0 et 4 avec la formule de la dérivée ?

[mayou_84]

comme f(x) de la forme u alors f' de la forme u'/2u

donc si f s'annule (c'est à dire u s'annule) et c'est le cas pour x=0 et x=4. Alors le dénominateur de la dérivée s'annulera en ces valeurs! donc la dérivée n'est pas définie en x=0 et x=4
c'est pourquoi si j'étudie f sur [0,4] alors f est dérivable sur ]0;4[

[Kikoo <3 Bieber]

ooook! Moi je me disais f est une fonction racine carrée , si x = 0 alors f(0) = 0 or une dérivée de racine carré ne peut pas être égale à 0...
Le dénominateur ne peut pas être nulle. Donc 0 étant exclu , ca marche ?? Si x = 4 f(4)= 0 mais la dérivée ne serait pas nulle qu'au dénominateur, elle le serait au numérateur aussi et 0 /0 = 0 et donc...ça marche aussi x)

Et ensuite décortiquer tla fonction comme f(x) = 4x - x² en développant je pense
u = 4x - x² et u' = 4-2x
f'(x) = u'(x) / 2 Racine u(x) = -2x -4 / 2* 4x -2

enfin sinon je vois pas comment continuer sans ça

Oui pour le début

Et pour la dérivée, t'as oublié quelques éléments : de un, la racine au dénominateur, et le rajout d'un signe -

[Kikoo <3 Bieber]

comme f(x) de la forme u alors f' de la forme u'/2u

donc si f s'annule (c'est à dire u s'annule) et c'est le cas pour x=0 et x=4. Alors le dénominateur de la dérivée s'annulera en ces valeurs! donc la dérivée n'est pas définie en x=0 et x=4
c'est pourquoi si j'étudie f sur [0,4] alors f est dérivable sur ]0;4[

C'est bon.

[Le Chat]

C'est bon.

Certains ouvrages disent qu'une fonction définie sur [a;b] sera aussi dérivable aux points d'abscisses a et b alors que d'autres disent le contraire...

Pouvez-vous m'éclaircir svp?

[Kikoo <3 Bieber]

Certains ouvrages disent qu'une fonction définie sur [a;b] sera aussi dérivable aux points d'abscisses a et b alors que d'autres disent le contraire...

Pouvez-vous m'éclaircir svp?

Cela dépend, ce n'est pas vrai avec toutes les fonctions.
Prends par exemple l'un des cas les plus triviaux : x -> |x| est définie partout sur R et est pourtant indérivable en 0.

[Le Chat]

[quote="Kikoo |x| est définie partout sur R et est pourtant indérivable en 0.[/quote]

Oui, mais dans ce cas x=0 n'est pas une borne de f(x). Je ne parlai pas de ça, pardon. :zen:

Par exemple, une fonction racine carrée (rac de x) défini dans [0; +inf

la fonction est-elle dérivable en x=0? je dirai que non pcq lim x-->0 de f(x) et f'(x) n'existent pas.

??

[Kikoo <3 Bieber]

Oui, mais dans ce cas x=0 n'est pas une borne de f(x). Je ne parlai pas de ça, pardon. :zen:

Par exemple, une fonction racine carrée (rac de x) défini dans [0; +inf

la fonction est-elle dérivable en x=0? je dirai que non pcq lim x-->0 de f(x) et f'(x) n'existent pas.

??

Tu as ta réponse

[mayou_84]

Mon exo est en 3 partie, on me demandait par la suite d'étudier les variations de f (donc tableau de signe + variations), de donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 2 (j'ai trouvé y=2)et de tracer la courbe et sa tangente au point d'abscisse 2 (fait). Donc la première partie est faite!

J'ai donc attaqué la deuxième partie de l'exercice:

g(x)=x[smb]racine[/smb]x(4-x)

1. Démontrer que la fonction est dérivable sur l'intervalle ]0;4[ et donner l'expression de sa dérivée f' sur cet intervalle: faut-il utiliser la même formule que dans la première partie pour la dérivée ? et la même méthode pour montrer que la fonction est dérivable?

2.La fonction g est-elle dérivable:
a. en 0?
b. en 4?

Puis, démontrez que l'équation g(x)=1 admet une unique solution dans l'intervalle [0;3]

J'ai l'impression de retomber à la case départ...