Famille libre de polynômes

[Unknown16294]

Bonsoir à tous!!
Comment démontrer que toute famille de polynômes de degrés distincts est libre.
Merci d'avance pour vos réponse.

[adrien69]

Bonsoir à tous!!
Comment démontrer que toute famille de polynômes de degrés distincts est libre.
Merci d'avance pour vos réponse.

Si tu travailles dans R[X],
Une famille est libre si et seulement si toute sous-famille finie est libre.
Prends donc une sous-famille quelconque finie de polynômes, écris que leur somme coefficientée vaut 0 et travaille par équivalent avec les fonctions polynômiales associées (tu supposes que le coefficient devant le monôme de plus haut degré est non nul, tu aboutis à une absurdité, etc)

Ou sinon, si tu travailles simplement dans un corps K quelconque tu peux aussi utiliser l'argument de l'unicité de l'écriture polynomiale (mais je l'aime un peu moins)

[Steviae]

Le théorème se montre par l'absurde ou récurrence sur l'indice qui donne au polynôme son degré.

[Sophiea]

Voir par ici