Exo de maths

[hafsa71]

j'ai du mal à resoudre cet exercice : soit x y et z des réels strictrements positifs

montrez que :
(x+y-z)(x-y+z)(z+y-x)<=xyz
et mercii

[Ericovitchi]

Il faut encore faire des grosses astuces.

Soit x;y;z ne sont pas des longueurs des cotés d'un triangle (ça veut dire que l'on a z>x+y ou une relation équivalente pour les autres cotés) et dans ce cas le produit (x+y-z)(x-y+z)(z+y-x) est négatif et xyz est positif donc l'inégalité est vérifiée.

Si maintenant x;y;z sont les longueurs des cotés d'un triangle alors les 3 facteurs sont positifs et on a le droit de poser :
x+y-z=2a ; y+z-x=2b ; z+x-y=2c (ça s'appelle la transformation de Ravi) avec a;b;c>=0
Si on résout le système on trouve
x=a+b ; y=b+c et z=c+a

Et l'inégalité (x+y-z)(x-y+z)(z+y-x);)xyz devient (2a)(2b)(2c);)(a+b)(b+c)(c+a)
qui est justement l'inégalité que tu viens de démontrer au topic : lien