Les limites

[wonanee]

Bonjour à tout le monde,

Je suis en DAEU littéraire, j'ai pris option maths. Je suis pas trop mauvaise normalement, mais les cours sont imbuvables ! Je m'en viens donc vers vous...
Les limites... Arrrggghhh ! J'ai par exemple un petit exercice :
soit f la fonction définie sur R-(-1) par f(x)=x/x-1

a)déterminer la limite de f en +l'infini
b)déterminer ce résultat en terme d'asymptote
c)déterminer la limite de f en 1-
d)déterminer ce résultat en terme d'asymptote.

La correction est fournie, je ne demande donc pas les réponses, je les ai. Mais j'aimerai juste comprendre comment faire. Si vous pouvez m'expliquer, ça sera sympa !

Merci les gens !

[homeya]

Bonjour,

Je suppose que la fonction est f(x) = . A partir de là:
a) La limite d'une fraction rationnelle en l'infini (+ ou -) est la limite de ses termes de plus haut degré. Ainsi la limite de f en + sera la limite de x/x qui se simplifie en 1.
b) Puisque f se rapproche de 1 lorsque x tend vers +, la courbe représentative de se rapprochera de la droite d’équation y = 1 qui sera donc son asymptote (un trace rapide à la calculatrice permet de s'en convaincre).
c) en 1-, le numérateur tendra vers 1 et le dénominateur vers 0- (il suffit de calculer par exemple 0,99 - 1 = -0,01: il ne s'agit pas d'une preuve mais cela permet d'intuiter le résultat). Au final, f tendra donc vers -.
d) Fort du résultat précédent, on peut affirmer que la droite d’équation x=1 sera asymptote à la courbe de f puisque f diverge vers - (elle "descend jusqu'à l'infini") lorsque x se rapproche de 1 par la gauche.

Cordialement.

[wonanee]

Ne serait-ce que pour la question 1, j'ai ça en corrigé :

Le dénominateur de la fraction f(x) = (x+1)/(x-1) (tu as oublié +1 à ton numérateur) s'annule uniquement pour x=1. Le domaine de définition est donc R-(1). Jusque là, je comprends.
On effectue le calcul suivant :
f(x)=(x+1)/(x-1)=(x-1+2)/(x-1)=1+ (2/x-1) (Là déjà je comprends pas ce calcul)
On prend pour nouvelle origine le point de coordonnées (1;1) en conservant de direction des axes et l'unité graphique. On note X et Y les coordonnées dans le nouveau repère. On a :
X=x-1 et Y=y-1
La relation y=f(x) devient Y=2/X

(et là je patauge grave ! ><)

[homeya]

OK pour la fonction (l'expression du message initial était " f(x)=x/x-1").
Si f(x) = , les résultats (limites, asymptotes et raisonnements) sont inchangés par rapport à ma première réponse.
Concernant votre calcul:
f(x)
=
=
= + en "coupant" la fraction en deux
= 1 + en simplifiant
Le but de votre prof est de montrer que f représente une hyperbole (de la forme Y=a/X) en faisant le changement de repère X=x-1 et Y=y-1: le centre du nouveau repère est donc le point de coordonnées (1;1). En reprenant l'expression précédente de f(x):
f(x) = y = 1 + , on peut ecrire y - 1 = puis en remplaçant x-1 et y-1 par leurs expressions en fonction de X et Y: Y = . Par conséquent, la courbe de f est une hyperbole dans le nouveau repère (il suffit de la représenter à la calculatrice). Je suppose qu'à partir de là votre prof en déduit les limites et les asymptotes (si c'est le cas, c'est une méthode un peu inusuelle).

[Carpate]

Bonjour à tout le monde,

Je suis en DAEU littéraire, j'ai pris option maths. Je suis pas trop mauvaise normalement, mais les cours sont imbuvables ! Je m'en viens donc vers vous...
Les limites... Arrrggghhh ! J'ai par exemple un petit exercice :
soit f la fonction définie sur R-(-1) par f(x)=x/x-1

a)déterminer la limite de f en +l'infini
b)déterminer ce résultat en terme d'asymptote
c)déterminer la limite de f en 1-
d)déterminer ce résultat en terme d'asymptote.

La correction est fournie, je ne demande donc pas les réponses, je les ai. Mais j'aimerai juste comprendre comment faire. Si vous pouvez m'expliquer, ça sera sympa !

Merci les gens !

C'est Parenthèses !
On ne change pas f en divisant son numérateur et dénominateur par x

Quand , ,
On peut appliquer directement le théorème qui indique qu'au voisinage de , un polynôme est équivalent à (se comporte comme ) son terme de plus haut degré :

Quand , se rapproche indéfiniment de la droite qui est asymptote à f
La quantité représente la position du graphe de f par rapport à son asymptote

Au voisinage de , est négatif, est au-dessous de son asymptote, et au v. de , est positif et est au-dessus de son asymptote comme tu peux le vérifier en traçant

Quand , ou selon que ou et tend respectivement vers ou

[homeya]

@Carpate: en fait c'est f(x) = d’après le post de 11h52 (mais ça ne change rien aux résultats).

[Carpate]

@Carpate: en fait c'est f(x) = d’après le post de 11h52 (mais ça ne change rien aux résultats).

Oui, merci, j'avais vu mais après envoi de mon message !
Wonanee aurait pu corriger directement (et en rouge bien visible) son énoncé !

[wonanee]

Désolée. Je ne connais pas toutes les fonctionnalités du forum, je ne sais donc comment procéder pour corriger. Sinon, je l'aurais fait pour éviter tout amalgame.

[homeya]

OK. Est-ce que l'exercice te parait plus clair maintenant (ce qui est tout de même l'essentiel :we: ) ?